Enunciado

35. Ache uma equação da reta normal à curva

x^2 + x y + y^2 - 3 y = 10 n o p o n t o ( 2,3 )

Passo 1

Nesta questão o enunciado nos pede para determinarmos a equação da reta normal à curva no ponto dado.

x^2 + x y + y^2 - 3 y = 10 n o p o n t o ( 2,3 )

Para isso, devemos saber que a reta normal à curva é aquela em que o coeficiente angular da reta tangente ( atangente) multiplicado pelo coeficiente angular da reta normal (anormal) é igual a -1, ou seja, (atangentexanormal) = -1.

Sendo assim, para determinarmos a equação da reta normal, basta determinar a equação da reta tangente e utilizar a relação entre os coeficientes angulares para obter o coeficiente angular da reta noramal, e então sua equação de reta.

A equação da reta tangente tem a seguinte forma : y = ax + b, em que a é o coeficiente angular e pode ser obtido a partir da derivada da função dada no enunciado e b é o coeficiente linear e pode ser obtido após encontrar a, substituindo os valores do ponto dado no enunciado.

Para derivar a função em questão pode-se utilizar do conceito de derivação implícita, que é mais uma técnica a ser utilizada para encontrarmos a derivada de uma dada função. Esta técnica é bem útil quando estamos diante de funções em que não é possível isolar y em função de x ou vice –versa.

Para resolver questões por derivação implícita basta seguir os seguintes itens

  1. Derivar ambos os lados da igualdade, utilizando técnicas de derivação como a regra da cadeia, regra do produto e do quociente;
  2. Ao lado de cada derivada encostar uma fracão d_/d_ em que no espaço vazio do denominador você fixa uma variável e no espaço vazio do numerador você coloca a variável na qual acabou de derivar;
  3. Após o passo anterior basta isolar, por meio de operações matemáticas básicas, o que está sendo pedido no enunciado.

Passo 2

Como dito anteriormente, o coeficiente angular ( a ) é obtido a partir da derivada da função dada no problema, sendo assim

Passo 3

Aplicando o ponto dado (2,3) na expressão de (a) para encontrar o seu valor neste ponto temos

Passo 4

Como no Passo 1 escrevemos a seguinte relação entre os coeficiente angulares , podemos obter o coeficiente angular da reta normal

(atangentexanormal) = -1

(-14/5) x anormal = -1

anormal = 5/14

Então, até agora temos que a equação da reta normal à curva no ponto está da seguinte forma

Y = 5/14 x +b

Passo 5

Substituindo o ponto (2,3) na equação da reta obtida até o momento para encotrar o valor de b

3 = 5 // 14 . 2 + b

b = 16 // 7

Assim , a equeção da reta normal à curva no ponto (2,3) é

Y = 5 // 14 x + 16 // 7

Resposta

Y = 5 // 14 x + 16 // 7

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

11.(a) Encontre a inclinação da tangente à curva y = 2 / ( x + 3 ) no ponto onde x = a .(b) Encontre as inclinações das retas tangentes nos pontos cujas coordenadas são (i) - 1 (ii) 0 e (iii)
7-10.Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado. y = 1 + 2 x - x 3 , ( 1,2 )
Considere a inclinação da curva em cada um dos cinco pontos dados. Classifique-os em ordem decrescente e explique seu raciocínio.Gráfico com aproximação, mas que mantém as propriedades das tangentes.
5.(a)Encontre a inclinação da reta tangente à curva y = x 3 no ponto ( - 1 , - 1 ) Usando a Definição 1Usando a Equação 2 (b) Encontra a equação da reta tangente da parte (a) (c) Faça um gráfico da cu
12.(a) Encontre a inclinação da tangente à parábola y = x 3 - 4 x + 1 nos pontos onde x = a .(b) Encontre as inclinações das retas tangentes nos pontos cujas coordenadas são ( 1 , - 2 ) e ( 2,1 ) (c)