Enunciado

7-10. Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.

7. y = 2 x x + 1 2 , ( 1,2 )

Passo 1

Olá, meu querido amigo. Estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui, iremos encontrar a equação da reta tangente a curva

2 x x + 1 2

E faremos isso no ponto

( 1,2 )

Da curva dada. Basicamente temos uma curva, e um ponto, gostaria de encontrar uma reta tangente a esta curva e que passe por esse ponto dado.

Veja que o ponto dado pelo enunciado não pertence a função, provavelmente um erro de digitação, o ponto que pertence a função em x = 1 é

1 , 1 2

E é com ele que iremos trabalhar.

Primeiro, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente à curva. Para isso, utilizaremos a equação:

m = lim h → 0 ⁡ f ( a + h ) - f ( a ) h

Em que m , é o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto ( a , f ( a ) ) e h = x - a .

A equação da reta tangente será então:

y - y o = m ( x - x o )

Em que   ( x o ,   y o ) é o ponto de tangência, no nosso caso 1 , 1 2 .

Passo 2

Primeiro vamos encontrar o coeficiente angular da nossa reta:

m = lim h → 0 ⁡ f ( 1 + h ) - f ( 1 ) h

Lembrando que f ( 1 ) = 1 / 2 , vamos encontrar f ( 1 + h ) :

f x = 2 x x + 1 2

Substituindo os valores:

f 1 + h = 2 h + 1 h + 1 + 1 2

f 1 + h = 2 h + 2 h + 2 2

Realizando o produto notável:

f 1 + h = 2 h + 2 h 2 + 4 h + 4

Substituindo agora tudo na expressão do limite, temos:

m = lim h → 0 ⁡ 2 h + 2 h 2 + 4 h + 4 - 1 2 h

Realizando o m m c no numerador:

m = lim h → 0 ⁡ 2 2 h + 2 - h 2 + 4 h + 4 2 ( h 2 + 4 h + 4 ) h

Agora organizando as frações:

m = lim h → 0 ⁡ 4 h + 4 - h 2 - 4 h - 4 2 ( h 2 + 4 h + 4 ) h

Realizando as devidas contas no numerador:

m = lim h → 0 ⁡ - h 2 2 ( h 2 + 4 h + 4 ) h

“Cortando” o h do numerador com o h do denominador, temos:

m = lim h → 0 ⁡ - h 2 ( h 2 + 4 h + 4 )

Agora de fato calculando o limite:

m = lim h → 0 ⁡ - 0 2 ( 0 2 + 4 ∙ 0 + 4 ) = 0

Passo 3

Com o coeficiente angular da reta já calculado, vamos substituir o ponto e esse coeficiente na equação da reta tangente.

y - y o = m ( x - x o )

y - 1 2 = 0 ( x - 1 )

y - 1 2 = 0

y = 1 2

Abaixo veja o gráfico do que encontramos juntos, que confirma nosso acerto:

Resposta

y = 1 2

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