Enunciado

11.(a) Encontre a inclinação da tangente à curva y = 2 / ( x + 3 ) no ponto onde x = a .

(b) Encontre as inclinações das retas tangentes nos pontos cujas coordenadas são (i) - 1 (ii) 0 e (iii) 1

Passo 1

Olá, amigo. Estarei aqui te ajudando a resolver essa atividade.

Temos a curva:

y = 2 ( x + 3 )

E temos um ponto genérico:

x = a

Queremos encontrar a inclinação de uma reta tangente a nossa curva, no ponto x = a , sendo que esse ponto pertence a nossa curva dada.

Um pouco confuso, mas durante a resolução fica melhor.

A inclinação da reta tangente a uma curva é dada pela seguinte relação:

m = lim h → 0 ⁡ f ( a + h ) - f ( a ) h

Em que m , é o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto ( a , f ( a ) ) e h = x - a . Então basicamente é isso, iremos aplicar essa relação e iremos encontrar a nossa inclinação. Para a letra b), o que iremos fazer é deixar de utilizarmos o ponto genérico x = a , para utilizarmos o ponto dado na equação que encontramos para m .

Passo 2

Letra a)

Então vamos aos cálculos:

m = lim h → 0 ⁡ f ( a + h ) - f ( a ) h

Anotando algumas coisas para não nos enrolarmos:

f ( a + h ) = 2 ( a + h + 3 )

f ( a ) = 2 a + 3

Substituindo tudo no cálculo do limite temos:

m = m = lim h → 0 ⁡ 2 ( a + h + 3 ) - 2 a + 3 h

Realizando o m m c no numerador:

m = m = lim h → 0 ⁡ 2 a + 3 - 2 ( a + h + 3 ) ( a + h + 3 ) ( a + 3 ) h

Agora organizando as frações:

m = lim h → 0 ⁡ 2 a + 6 - 2 a - 2 h - 6 h a + h + 3 a + 3

Realizando os cálculos necessários:

= lim h → 0 ⁡ - 2 h h ( a + h + 3 ) a + 3

Cortando o h de cima e de baixo, temos:

m = lim h → 0 ⁡ - 2 a + h + 3 a + 3

Agora vamos de fato calcular o limite:

m = lim h → 0 ⁡ - 2 a + 0 + 3 a + 3 = - 2 a + 3 2

Passo 3

Letra b)

Agora apenas substituiremos o valor de a pelos valores do enunciado.

  1. Para:
  2. a = - 1

    m = - 2 ( - 1 + 3 ) 2 = - 2 4 = - 1 2

  3. Para:
  4. a = 0

    m = - 2 ( 0 + 3 ) 2 = - 2 9 = - 2 9

  5. Para:

a = 1

m = - 2 ( 1 + 3 ) 2 = - 2 16 = - 1 8

Resposta

( a )

- 2 a + 3 2

( b )  

(i)

m = - 1 2

(ii)

m = - 2 9

(iii)

m = - 1 8

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