Enunciado

36)

Ache o volume do solido gerado pela rotação da região do exercício 35 em torno do eixo x.

Passo 1

Entendendo o problema

  1. A região é mostrada na figura 1, se fazemos uma rotação em x obteremos um
  2. solido como mostrado na figura 2.

  3. Suponhamos uma fatia daquela área note que, ao gira essa fatia fira um disco com raio igual ln x. Usando a formula da área do circulo; A(x) =     π     ( ln ⁡ x   ) ² , o volume encontramos integrando a área não é?

Passo 2

∫ A x d x , certo?

π ∫ 1 e ² l n ² x   d x

Usando integração por partes;

Seja f(x) = ln²x derivando f’(x) = 2 ln ⁡ x x

g’(x) = 1 integrando g(x) = x

Substituindo na formula ficamos com;

∫ l n ² x   d x = x.ln x - ∫ 2 ln ⁡ x x   x   d x

∫ l n ² x   d x = x.ln x- 2 ∫ ln ⁡ x   d x

Note que devemos usar novamente interação por partes;

Seja f(x) = l n   x       derivando f’(x) = 1 x

g’(x) = 1 integrando g(x) = x

Substituindo na formula temos;

∫ ln ⁡ x   d x = x . l n   x   -   ∫ x x   d x

∫ ln ⁡ x   d x = x . l n   x   –   x       ,

Substituindo na expressão original temos;

Passo 3

∫ ln ⁡ x   d x = x . l n ²   x     -     2   ∫ ln ⁡ x   d x

= x . l n ² x   - 2 (   x . l n x     -   x )

= x . l n ² x   –   2 x . l n   x   +   2 x

Logo;

π ∫ l n ²   x   d x = π   x   l n ² x - 2   π   x ln ⁡ x + 2 π x   | e ² 1

= 2 π ( e²-1)

Resposta

= 2 π ( e²-1).

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Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares ( x , y ) tais quee) y ≥ 0 ,1 ≤ x ≤ 2ex 2 - y 2 ≥ 1 .
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares ( x , y ) tais queh) 0 ≤ y ≤ xex 2 + y 2 ≤ 2 .
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares ( x , y ) tais quef) 0 ≤ x ≤ 1ex ≤ y ≤ 3 .
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares ( x , y ) tais quej) 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4ey ≥ 0 .
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares ( x , y ) tais quec) 1 ≤ x ≤ 4e0 ≤ y ≤ x