Enunciado

Ache o centro, os vértices, os focos e as equações das assíntotas da hipérbole dada. Faça um esboço da curva e de suas assíntotas e mostre os focos.

9 x 2 - 18 y 2 + 54 x - 36 y + 79 = 0

Passo 1

Primeiramente vamos passar a equação para a forma reduzida ao completarmos o quadrado de x e y .

9 x 2 + 54 x + 81 - 18 y 2 - 36 y - 18 + 79 = 0 + 81 - 18

9 x 2 + 6 x + 9 - 18 ( y 2 + 2 y + 1 )   = - 16

9 x + 3 2 - 18 y + 1 2 = - 16

- 9 x + 3 2 16 + 18 y + 1 2 16 = 1

9 y + 1 2 8 - 9 x + 3 2 16 = 1

y + 1 2 8 9 - x + 3 2 16 9 = 1

Desta forma temos que o centro é - 3 ,   - 1 . Além disso a 2 = 8 9   e   b 2 = 16 9 que nos dão os valores dos eixos a = 2 2 3   e  b = 4 3 .

Passo 2

Agora para achar os vértices tomamos o centro e somamos ou subtraímos a da coordenada da qual o eixo principal é paralelo. Neste caso temos que fazer isso em y .

V 1 = - 3 ,   - 1 + 2 2 3

V 2 = - 3 ,   - 1 - 2 2 3

Passo 3

Para os focos o mesmo procedimento dos vértices pode ser aplicado, mas em relação a c . Assim basta encontrar c   pela Relação Pitagórica.

a 2 + b 2 = c 2

8 9 + 16 9 = c 2

24 9 = c

2 6 3 = c

F 1 = - 3 ,   - 1 + 2 6 3

F 2 = - 3 ,   - 1 - 2 6 3

Passo 4

As assíntotas são dadas como f y : ( x - k ) = b a ( y - h ) e g y :   x - k = - b a ( y - h ) .

f y : x + 3 = 4 3 2 2 3 ( y + 1 )

f y : x + 3 = 2 2 ( y + 1 )

f y : x + 3 = 2 ( y + 1 )

f y : x = 2 y + 2 - 3

g y :   x + 3 = - 4 3 2 2 3 ( y + 1 )

g y : x + 3 = - 2 2 ( y + 1 )

g y : x + 3 = - 2 ( y + 1 )

g y : x = - 2 y - 2 - 3

Resposta

C = - 3 ,   - 1

V 1 = - 3 ,   - 1 + 2 2 3

V 2 = - 3 ,   - 1 - 2 2 3

F 1 = - 3 ,   - 1 + 2 6 3

F 2 = - 3 ,   - 1 - 2 6 3

f y : x = 2 y + 2 - 3

g y : x = - 2 y - 2 - 3

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