Enunciado

36. Utilize uma ferramenta gráfica como no Exemplo 4 (ou o Método de Newton ou um determinador de raízes) para encontrar os pontos críticos de f com precisão de três casas decimais. Em seguida, classifique o ponto crítico e determine o valor mais alto e o mais baixo do gráfico.

f x , y = x ³ - 3 x - y 3 + 12 y

D é um quadrilátero cujos vértices são: - 2,3 , 2,3 , 2,2 , - 2 , - 2 .

Passo 1

A função que ele nos deu foi a seguinte:

f x , y = x ³ - 3 x - y 3 + 12 y

Para acharmos os pontos críticos, vamos fazer f x = 0 e f y = 0 . Então, vamos lá!

Derivando em relação a x :

f x = 3 x ² - 3

Igualando a zero:

3 x 2 - 3 = 0 → x = ± 1

Agora em relação a y :

f y = - 3 y ² + 12

Igualando a zero:

- 3 y 2 + 12 → y = ± 2

Logo, os pontos críticos são:

1,2 , 1 , - 2 , - 1,2 e ( - 1 , - 2 )

Deles somente ( 1,2 ) e ( - 1,2 ) estão em D , em que f 1,2 = 14 e f - 1,2 = 18 .

Passo 2

Agora vamos montar o quadrilátero que ele fala do enunciado, olha só:

Como podemos ver, apenas ( 1,2 ) e ( - 1,2 ) estão dentro do quadrilátero D . Portanto, apenas esses pontos podem ser pontos críticos.

Para o ponto ( 1,2 ) :

f 1,2 = 14

E para o ponto ( - 1,2 ) :

f - 1,2 = 18

Mas tem um Teorema que nos diz o seguinte: Os pontos de máximos e mínimos absolutos podem ocorrer apenas nos pontos críticos que estão dentro da região D ou em algum ponto na “borda” da região D .

Passo 3

Primeiro vamos ver em L 1 :

x = - 2

Logo,

f - 2 , y = - 2 - y 3 + 12 y ,     - 2 ≤ y ≤ 3

Então vamos checar a fronteirada região D . Como vamos analisar os limites da região D , vamos olhar para:

y = - 2 :

f - 2 , - 2 = - 18

y = 3 :

f - 2,3 = 7

Agora vamos olhar para os pontos críticos. Derivando, temos:

f ' - 2 , y = - 3 y 2 + 12 = 0

Assim,

3 y 2 = 12 → y = ± 2

Se y = 2

f - 2,2 = 14

Se y = - 2

f - 2 , - 2 = - 18

Passo 4

Agora vamos olhar para L 2 :

y = 3

Logo,

f x , 3 = x 3 - 3 x + 9   para - 2 ≤ x ≤ 2

Analisando a fronteira:

x = - 2 :

f - 2,3 = 7

x = 2 :

f 2,3 = 11

Agora vamos ver os pontos críticos. Derivando:

f ' x , 3 = 3 x 2 - 3

Igualando a zero, chegamos em:

x = ± 1

Considerando x = 1 ,

f 1,3 = 7

Considerando x = - 1 ,

f - 1,3 = 11

Passo 5

Em L 3 :

x = 2

Logo,

f 2 , y = - y 3 + 12 y + 2 ,     2 ≤ y ≤ 3

Analisando a fronteira:

y = 2 :

f 2,2 = 18

y = 3 :

f 2,3 = 11

Derivando para achar os pontos críticos:

f ' 2 , y = - 3 y 2 + 12

Igualando a zero:

- 3 y 2 + 12 = 0 → y = ± 2

Como 2 ≤ y ≤ 3 , podemos descartar o caso em que y = - 2 . Assim,

Para y = 2 :

f 2,2 = 18

Passo 6

Por fim, vamos analisar L 4 :

y = x

Assim,

f x , x = 9 x ,     - 2 ≤ x ≤ 2

Analisando a fronteira, temos o seguinte:

Em x = - 2 :

f - 2 - 2 = - 18

Em x = 2 :

f 2,2 = 18

Pra finalizar, vamos olhar para os pontos críticos.

f x , x = 9 x

Derivando,

f ' x , x = 9

Portanto, vemos que f ' x , x nunca será zero. Assim, não há candidatos aos pontos críticos.

Passo 7

Analisando os pontos críticos, temos:

f - 2 , - 2 = - 18

f 1,3 = 7

f - 1,3 = 11

f - 2,2 = 14

f 1,2 = 14

f - 1,2 = 18

f 2,2 = 18

Assim, o valor máximo ocorre para os pontos 2,2 e ( - 1,2 ) e o máximo absoluto é 18 . Já o mínimo, ocorre apenas para o ponto - 2 , - 2 e o mínimo absoluto é - 18 .

Resposta

O valor máximo ocorre para os pontos 2,2 e ( - 1,2 ) e o máximo absoluto é 18 . Já o mínimo, ocorre apenas para o ponto - 2 , - 2 e o mínimo absoluto é - 18 .

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