1.

Sejam m número real, m ≠ 0 e f x , y = x 4 + m y 2 - 2 x ² .

(a) Classifique os pontos críticos de f em função de m .

(b) Considere m = 2 . Encontre os valores máximo e mínimo de f no conjunto

C = { x , y ∈ R 2   : - 1 ≤ x ≤ 1 , x 2 ≤ y ≤ 1 }

Resolução
2.

Encontre o máximo e o mínimo absoluto da função

f x , y = 4 x - x 2 cos ⁡ y

na placa retangular 1 ≤ x ≤ 3 ,   - π / 4 ≤ y ≤ π / 4 (veja figura a seguir).

Resolução
3.

Encontre os pontos de máximo e mínimo globais da função f x , y = x 3 + y 3 - 3 x - 3 y dentro de A = { x , y ∈ R 2   ;   0 ≤ x ≤ 1   e   y ≤ 4 } .

Resolução
4.

Determine os valores máximo e mínimo absolutos de

f x , y = x 2 + y 2 + x 2 y + 4 ,

no conjunto D = x , y ∈ R 2   : x ≤ 1 ,   y ≤ 1 .

Resolução
5.

Seja f x , y = y 2 - 4 x 2 - 5 x + 6 + 5 x 2 - 8 x .

  1. Dados os pontos 2 , - 4 , 4,0 e 2,4 , decida quais deles são pontos de máximo local, de mínimo local, ou ponto de sela de f .
  2. Determine os valores de máximo e mínimo de f em D , em que D é a região do plano delimitada pelo retângulo de vértices - 7 , - 2 ,   0 , - 2 ,   0,2 e - 7,2 .
Resolução
6.

Seja f : R 2 → R dada por f x , y = x 3 + y 3 - 12 x - 3 y

  1. Determine e classifique os pontos críticos.
  2. Determine , caso existam, os pontos de máximo e de mínimo de f no conjunto

D = x , y ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ 3   e   0 ≤ y ≤ x

Resolução
7.

Seja f x , y = x 2 - 2 x y e - y

  1. Determine os pontos críticos de f e classifique-os.
  2. Determine o máximo e o mínimo de f no quadrado (com interior e bordas) cujos vértices são 0,0 , ( 3,0 ) , ( 3,3 ) e ( 0,3 ) .
Resolução
8.

Sejam m número real, m ≠ 0 e f x , y = x 4 + m y 2 - 2 x ² .

(a) Classifique os pontos críticos de f em função de m .

(b) Considere m = 2 . Encontre os valores máximo e mínimo de f no conjunto

C = { x , y ∈ R 2   : - 1 ≤ x ≤ 1 , x 2 ≤ y ≤ 1 }

Resolução
9.

Determine os valores máximo e mínimo absolutos de

f x , y = x 2 + y 2 + x 2 y + 4 ,

no conjunto D = x , y ∈ R 2   : x ≤ 1 ,   y ≤ 1 .

Resolução
10.

Considere a função f x , y = x y e o domínio

R = x , y ∈ R 2   ;   - 1 ≤ x ≤ 1   e - 1 ≤ y ≤ 1

Considere as afirmativas:

  1. f tem dois pontos de máximo absoluto em R
  2. f tem dois pontos de mínimo absoluto em R
  3. O valor máximo absoluto de f em R é 1.
  4. O valor mínimo absoluto de f em R é 0.
  5. f tem apenas um ponto crítico no interior de R

Assinale a alternativa correta:

  1. Apenas as afirmativas II e IV são falsas
  2. Todas as afirmativas são verdadeiras
  3. Todas as afirmativas são falsas
  4. Apenas a afirmativa IV é falsa
  5. Apenas a afirmativa V é falsa
Resolução
11.

Os valores máximo e mínimo absolutos de

f x , y = y - x 3 + 2  

Na região

D = x , y ∈ R 2   ; x ≤ 1 ,   y ≤ 1     e   x + y ≥ 1

São, respectivamente

a 3   e   1

b 2   e   0

c 2   e   1

d   1   e - 1 / 2

e 3   e - 1 / 2

Resolução
12.

Seja f x , y = 1 + 4 x - 5 y definida na região triangular fechada D com vértices 0,0   ,   2,0 e ( 0,3 ) . Qual das afirmativas abaixo é verdadeira?

  1. O máximo absoluto de f em D é 4 e o mínimo absoluto de f em D é - 17
  2. O máximo absoluto de f em D é 11 e o mínimo absoluto de f em D é - 14
  3. O máximo absoluto de f em D é 9 e o mínimo absoluto de f em D é - 14
  4. O máximo absoluto de f em D é 9 e o mínimo absoluto de f em D é - 17
  5. Não sei
Resolução
13.

Suponha que T x , y = 4 x 2 + 9 y 2 representa o valor da temperatura em ° C sobre os pontos do plano x y .

  1. Determine o ponto de mais baixa temperaura da reta y + x - 1 = 0
Resolução
14.

Determine os valore e os respectivos pontos de máximo e de mínimo da função f x , y = x 2 y 2 restrita à elipse x 2 + 4 y 2 = 8 .

Resolução
15.

Considere a função f   : R 2 → R   definida por

f x , y = A x 2 + y e y

Onde A é uma constante real não nula.

  1. Encontre os pontos críticos de f
  2. Determine os pontos de máximo, mínimo e sela da função dada.
  3. Faça A = - 1 e determine os valores de máximo e mínimo absolutos de f na região compacta

K = x , y ∈ R   ; 0 ≤ y ≤ x 2 ,   0 ≤ x ≤ 1

Resolução
16.

Os valores máximo e mínimo absolutos de

f x , y = x 3 - y + 1

Na região

D = x , y ∈ R 2   ; x ≤ 1 ,   y ≤ 1   e   x + y ≥ 1

São, respectivamente:

  1. 2   e   0
  2. 1   e   0
  3. 1   e - 1 2
  4. 3   e - 1 2
  5. 2   e   1
Resolução
17.

Seja f : R 2 → R dada por

f x , y = x 2 y - x y + 4 y 3

  1. Determine os pontos críticos de f e classifique-os.
  2. Determine, se houver, os pontos de máximo e mínimo de f restrita ao conjunto

T = x , y ∈ R 2   ; 0 ≤ y ≤ x   e   0 ≤ x ≤ 1

Resolução
18.

Determine os valores máximos e mínimo absolutos de

f x , y = x 2 + y 2 + x 2 y + 4

No conjunto

D = x , y ∈ R 2   ; x ≤ 1 ,   y ≤ 1

Resolução
19.

Seja

f x , y = 1 + 4 x - 5 y

E considere D a região triangular, fechada, de vértices 0,0 ,   2,0 ,   ( 0,3 ) . Qual das afirmativas abaixo é verdadeira?

  1. O maior valor de f em D é 1 e o menor valor de f em D é - 14 .
  2. O maior valor de f em D é 2 e o menor valor de f em D é - 17 .
  3. O maior valor de f em D é 9 e o menor valor de f em D é - 17 .
  4. f não assume um valor máximo em D .
  5. Nenhuma das demais alternativas.
Resolução
20.

Considere o quadrado

R = x , y ∈ R 2   : 0 ≤ x ≤ 2     e   0 ≤ y ≤ 2

E a função

f x , y = x 3 3 - x y + y 3 3

Definida em R .

  1. Determine os valores máximo e mínimo de f na fronteira de R .
  2. Determine os valores máximo e mínimo de f em R .
Resolução
21.

Considere o quadrado

R = x , y ∈ R 2   : 0 ≤ x ≤ 4     e   0 ≤ y ≤ 4

E a função

f x , y = x 3 3 - 2 x y + y 3 3

Definida em R .

  1. Determine os valores máximo e mínimo de f na fronteira de R .
  2. Determine os valores máximo e mínimo de f em R .
Resolução
22.

Encontre o maior e o menor valor de f x , y = x 2 - x y + y 2 no círculo x 2 + y 2 = 1 . Em que pontos tais valores são atingidos?

Resolução
23.

Identifique os pontos de máximo e mínimo globais da função f x , y = x 2 + x y + y 2 na região

D = x , y ∈ R 2 ; x ≤ 3   e   x 2 ≤ y ≤ 9 .

Resolução
24.

Considere a função f x , y = x 2 + cos ⁡ y .

  1. Determine os pontos críticos e classifique-os.
  2. Determine os pontos de máximo e mínimo absolutos da função f sobre o conjunto compacto K = x , y ∈ R 2 ; 0 ≤ x ≤ 1 ,       0 ≤ y ≤ π .
Resolução
25.

Determine os pontos de máximo e de mínimo globais da função f x , y = x + y restrita à elipse x 2 9 + y 2 16 = 25 .

Resolução
26.

Seja f x , y = x 2 + x - y 2 e D = x , y ∈ R 2 ; 2 x - 1 2 + y - 1 2 ≤ 4 . Então:

a   O máximo absoluto de f é atingido no interior de D

b O máximo absoluto de f é atingido na fronteira de D

c   f não possui mínimo absoluto em D

d   f não possui máximo absoluto em D

e O mínimo absoluto de f é atingido no interior de D

Resolução

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