Enunciado

37. Suponha que f tem uma série de Fourier em senos

f x = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π x L                                     0 ≤ x ≤ L

(a) Mostre, formalmente, que

2 L ∫ 0 L f x 2 d x = ∑ n = 1 ∞ b n 2

Compare esse resultado (equação de Parseval) com o resultado do Problema 17 na Seção 10.3.

Qual será o resultado correspondente se f tiver uma série em cossenos?

(b) Aplique o resultado do item (a) à série da função dente de serra dada pela Eq. (9), mostrando, assim, que

π 2 6 = 1 + 1 2 2 + 1 3 2 + … = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2

Essa relação foi descoberta por Euler em torno de 1735.

Passo 1

(a) Fala galera!!

Nessa questão, nos foi dado a seguinte relação:

f x = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π x L

A parti dela, queremos mostrar que

2 L ∫ 0 L f x 2 d x = ∑ n = 1 ∞ b n 2

Passo 2

Para fazer isso, podemos começar multiplicando f x   para primeira relação dada. Assim temos:

f x ⋅ f x = f x ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π x L

f x 2 = ∑ n = 1 ∞ b n f x sen ⁡ n π x L

Integrando a dos dois lados de 0 a L em relação a x , temos o seguinte:

∫ 0 L f x 2 d x = ∫ 0 L ∑ n = 1 ∞ b n f x sen ⁡ n π x L d x

∫ 0 L f x 2 d x = ∑ n = 1 ∞ b n ∫ 0 L f x sen ⁡ n π x L d x

Mas temos que b n pode ser expresso da seguinte maneira:

b n = 2 L ∫ 0 L f x sen ⁡ n π x L d x

b n L 2   = ∫ 0 L f x sen ⁡ n π x L d x

Substituindo na relação encontrada acima, temos:

∫ 0 L f x 2 d x = ∑ n = 1 ∞ b n b n L 2

∫ 0 L f x 2 d x = L 2 ∑ n = 1 ∞ b n 2

2 L ∫ 0 L f x 2 d x = ∑ n = 1 ∞ b n 2

Com isso, provamos o que foi pedido.

Passo 3

No problema 17 na Seção 10.3, foi dado o seguinte:

1 L ∫ - L L f x 2 d x = a 0 2 2 + ∑ n = 1 ∞ a n 2 + b n 2

Podemos fazer a seguinte modificação na identidade de Parseval.

2 L ∫ 0 L f x 2 d x = a 0 2 2 + ∑ n = 1 ∞ a n 2 + b n 2

Comparando a equação acima com o resultado obtido anteriormente, temos o seguinte:

∑ n = 1 ∞ b n 2 = a 0 2 2 + ∑ n = 1 ∞ a n 2 + b n 2

∑ n = 1 ∞ b n 2 = a 0 2 2 + ∑ n = 1 ∞ a n 2 + ∑ n = 1 ∞ b n 2

0 = a 0 2 2 + ∑ n = 1 ∞ a n 2

∑ n = 1 ∞ a n 2 = - a 0 2 2

Temos que se  f   f tiver uma série em cossenos, isto é:

f x ∑ n = 1 ∞ b n cos ⁡ n π x L

Agora, multiplicando a relação acima por f x , temos:

f x ⋅ f x = f x ∑ n = 1 ∞ b n cos ⁡ n π x L

f x 2 = ∑ n = 1 ∞ b n f x cos ⁡ n π x L

Integrando a dos dois lados de 0 a L em relação a x , temos o seguinte:

∫ 0 L f x 2 d x = ∫ 0 L ∑ n = 1 ∞ b n f x cos ⁡ n π x L d x

∫ 0 L f x 2 d x = ∑ n = 1 ∞ b n ∫ 0 L f x cos ⁡ n π x L d x

Mas temos que b n pode ser expresso da seguinte maneira:

a n = 2 L ∫ 0 L f x cos ⁡ n π x L d x

a n L 2   = ∫ 0 L f x cos ⁡ n π x L d x

Substituindo na relação encontrada acima, temos:

∫ 0 L f x 2 d x = ∑ n = 1 ∞ b n a n L 2

∫ 0 L f x 2 d x = L 2 ∑ n = 1 ∞ b n a n

2 L ∫ 0 L f x 2 d x = ∑ n = 1 ∞ b n a n

Assim, o resultado correspondente se f tiver uma série em cossenos é dado pela relação acima.

Passo 4

(b) Temos que a equação periódica de período 2 L que representa a função dente de serra é a seguinte:

f x = x                               - L < x < L

E temos também que a serie de Fourier que representa a função acima é a seguinte:

f x = 2 L π ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n sen ⁡ n π x L

Se compararmos com a relação

f x = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π x L

Vamos perceber que

b n = 2 L - 1 n + 1 π n

Passo 5

Com o encontrado acima, vamos usar a relação abaixo para encontra à relação desejada.

2 L ∫ 0 L f x 2 d x = ∑ n = 1 ∞ b n 2

Substituindo b n e f x = x , temos:

2 L ∫ 0 L x 2 d x = ∑ n = 1 ∞ 2 L - 1 n + 1 π n 2

2 L x 3 3 0 L = ∑ n = 1 ∞ 4 L 2 π 2 n 2

2 L L 3 3 = 4 L 2 π 2 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2

2 L ⋅ L 3 3 ⋅ π 2 4 L 2 = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2

π 2 6 = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2

π 2 6 = 1 + 1 2 2 + 1 3 2 + … = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2

Assim, mostramos a relação descoberta por Euler.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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