Enunciado

Determine se a função dada é par, ímpar, ou nenhuma das duas.

tan ⁡ 2 x

Passo 1

Nosso primeiro passo para resolver o exercício é relembrar o conceito de função par e função ímpar.

Uma função par é uma equação em que:

f x = f ( - x )

Para todo x contido no domínio de f .

Por outro lado, uma função ímpar é definida como:

f x = - f ( - x )

Para todo x contido no domínio de f .

Vamos agora ver uma propriedade de funções pares e ímpares. O quociente de duas funções pares, irá gerar uma nova função par.

Da mesma forma, o quociente de duas funções ímpares, também têm como resultado uma função par.

E, finalmente, se temos o quociente de uma função par e uma ímpar, teremos uma função que é ímpar.

Com estes conceitos em mente, vamos analisar se a função dada é par, ímpar ou nenhuma das duas. Tudo bem?

Passo 2

Temos a função:

f x = tan ⁡ 2 x

Podemos reescrevê-la como:

f x = g x h x ,

Em que

g x = sen ⁡ 2 x

h x = cos ⁡ 2 x

Vamos analisar as funções g ( x ) e h ( x ) separadamente para ver se são pares ou ímpares.

g x = sen ⁡ 2 x

g - x = sen ⁡ - 2 x = - sen ⁡ 2 x

Então

g x = - g ( - x )

E, portanto g ( x ) é ímpar.

Para h ( x ) :

h x = cos ⁡ 2 x

h - x = cos ⁡ - 2 x = cos ⁡ 2 x

Assim,

h x = h ( - x )

e, h ( x ) é uma função par.

Passo 3

Definimos a função f ( x ) como um quociente entre as funções g ( x ) e h ( x ) . Pela propriedade de quociente de funções pares e ímpares, se g ( x ) é ímpar e h ( x ) é par, o quociente das duas será uma função ímpar. Então, f ( x ) é ímpar.

Resposta

Ímpar.

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