Enunciado

A seguir é dada uma função f em um intervalo de comprimento L . Em cada caso, esboce os gráficos da extensão par e da extensão ímpar de f de período 2 L .

f x = x , 0 ≤ x < 2 , 1 , 2 ≤ x < 3

Passo 1

Nosso primeiro passo para resolver o exercício é relembrar o conceito de função par e função ímpar.

Uma função par é uma equação em que:

f x = f ( - x )

Para todo x contido no domínio de f .

Por outro lado, uma função ímpar é definida como:

f x = - f ( - x )

Para todo x contido no domínio de f .

Com estes conceitos em mente, vamos analisar se a função dada é par, ímpar ou nenhuma das duas. Tudo bem?

Passo 2

O exercício nos pede para esboçar as extensões par e ímpar da função. Mas antes, vamos determinar qual parte da função f ( x ) é par ou ímpar. No intervalo 0 ≤ x < 2 ,

f x = x

Se aplicarmos a função para um valor x = a , em que a é um valor arbitrário dentro do domínio do intervalo 0 ≤ x < 2 :

f a = a

Se aplicarmos agora para x = - a :

f - a = - a

Então

f a = - f ( - a )

Portanto, f x = x é ímpar.

Para o intervalo 2 ≤ x < 3 :

f x = 1

Se aplicarmos a função para um valor x = a , em que a é um valor arbitrário dentro do domínio do intervalo 0 ≤ x < 2 :

f a = 1

Se aplicarmos agora para x = - a :

f - a = 1

Então

f a = f ( - a )

Portanto, f x = 1 é par.

Passo 3

Agora que já observamos os intervalos em que a função f ( x ) é par ou ímpar, podemos graficar cada extensão em um intervalo 2 L . Primeiro, vamos esboçar toda a função f ( x ) :

Sendo que corresponde à extensão par da função f ( x ) :

A extensão ímpar da função no intervalo - L ≤ x < L :

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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31. Prove que, se f for uma função ímpar, então ∫ - L L f x d x = 0
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