Enunciado

37-50 Use qualquer método para encontrar os extremos relativos da função f .

46. f x = ln ⁡ 2 + x 3

Passo 1

Galera,para qualquer métodos que nós escolhermos, vamos ter que calcular os pontos críticos da nossa função. Então vamos começar lembrando quais são as condições necessárias para x 0 ser ponto crítico:

- f ' x 0 = 0

-   f não é diferenciável em x 0 .

Agora, vamos prestar atenção em um detalhe: você deve estar se perguntando como esse módulo vai interferir na nossa derivada. Você já vai saber... Mas, antes, perceba que f não está definida em x = - 2 , 3 pois não existe ln ⁡ 0 .

Voltando ao módulo.... vamos resolver de uma vez esse problema. Vai ficar assim, olha:

f x = ln ⁡ 2 + x 3 ,           s e   x > - 2 3 ln ⁡ ( - 2 - x 3 ) ,       s e   x < - 2 3

Passo 2

Agora, o que nos resta é igualar a nossa função a zero. Assim, vamos ter

Para x > - 2 3 ,

f ' x = 3 x 2 2 + x 3

f ' x = 0   p a r a   x = 0 .

Além disso,

f ' x > 0   p a r a   x > - 2 3   e   x ≠ 0 .

Para x < - 2 3 ,

f ' x = - 3 x 2 - 2 - x 3 = 3 x 2 2 + x 3

Como 2 + x 3 < 0 e 3 x 2 > 0 para todo x < - 2 3 , temos f ' ( x ) < 0 .

Passo 3

O próximo passo é estudar o sinal de f ' antes e depois de - 2 3 e 0 . Para tanto, vamos ter o auxílio de uma tabela.

Passo 4

Assim, vemos que nenhum dos pontos acima é extremo relativo. No caso do - 2 3 , ele zera o nosso logaritmo e, portanto, a função não existe nesse ponto. No caso do 0 , os sinais antes e depois dele são os mesmos.

Resposta

A função f não possui extremos relativos.

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