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Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold - Capítulo 6.1 - Ex. 39

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39. A Região limitada pela curva y = c o s e c x   e pelas retas y = 2   ,   x = π 6 ,   x = 5 6 π é girada em torno do eixo x. Ache o volume do sólido gerado.

Passo 1

Antes de tudo, vamos esboçar essas curvas,

Em azul: x = π 6 .

Em vermelho: x = 5 π 6 .

Em roxo: y=2

Em marrom: y = c o s s e c x

Agora vamos gerar o sólido de revolução em torno do eixo x.

Nessa imagem, giramos as curvas em torno do eixo e fatiamos um pedaço do sólido, obtendo assim um anel.

Passo 2

A área do anel que desejamos é dado pela área com o raio maior menos a área do raio menor, ou seja,

A = π 2 2 - π c o s s e c x 2

A ( x ) = π 4 - c o s s e c 2 x

Passo 3

V = ∫ a b A ( x ) d x

A integral ficará assim:

V = ∫ π 6 5 π 6 π 4 - c o s s e c 2 x d x

Lembrando que x está variando de -1/2 a 1, por isso que esses são os limites da integral.

Resolvendo a integral:

= π 4 x + c o t g x | π 6 5 π 6

= π 10 π 3 + c o t g 5 π 6 - π 4 ⋅ π 6 + c o t g π 6

= π 4 ⋅ 5 π 6 - 3 - π 2 π 3 + 3

= 8 3 π 2 - 2 3   π

Resposta

= 8 3 π 2 - 2 3   π

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