3.Calcule.

∫ cos 3 ⁡ x sin 3 ⁡ x d x

Passo 1

Vamos primeiro fazer uma mudança de variável, chamaremos sin ⁡ x de u :

sin ⁡ x = u

Passo 2

Derivaremos cada membro da equação abaixo: sin ⁡ x   = u

cos ⁡ x d x = d u  

Agora vamos mexer um pouco na integral para facilitar na hora da substituição!

∫ cos 3 ⁡ x sin 3 ⁡ x d x = ∫ sin 3 ⁡ x cos 2 ⁡ x cos ⁡ x d x

Lembrando que cos 2 ⁡ x = 1 - sin 2 ⁡ x

∫ cos 3 ⁡ x sin 3 ⁡ x d x = ∫ sin 3 ⁡ x 1 - sin 2 ⁡ x cos ⁡ x d x

Repare que agora a esqueção na integral está tudo em função de seno, o que facilita muito na hora de substituir por u , por isso tenha sempre atenção com equações trigonométricas!!

Passo 3

Já temos como escrever tudo em função de u , então faremos a substituição e ficará assim:

∫ cos 3 ⁡ x sin 3 ⁡ x d x = ∫ u 3 1 - u 2 d u

∫ cos 3 ⁡ x sin 3 ⁡ x d x = ∫ u 3 - u 5 d u

Assim chegamos em uma integral de polinômios e resolvendo-a teremos:

∫ cos 3 ⁡ x sin 3 ⁡ x d x = u 4 4 - u 6 6 + C

Voltando ao x , pois ele é a nossa variável, o   u foi apenas uma ferramenta para conseguirmos calcular a integral!!!

∫ cos 3 ⁡ x sin 3 ⁡ x d x = sin 4 ⁡ x 4 - sin 6 ⁡ x 6 + C

Resposta

∫ cos 3 ⁡ x sin 3 ⁡ x d x = sin 4 ⁡ x 4 - sin 6 ⁡ x 6 + C

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