3.Calcule.

∫ tan 3 ⁡ x cos ⁡ x d x

Passo 1

Vamos primeiro fazer uma mudança de variável, chamaremos cos ⁡ x de u :

cos ⁡ x = u

Derivaremos cada membro da equação abaixo:

cos ⁡ x   = u

- sin ⁡ x d x = d u  

Ou seja

sin ⁡ x d x = - d u

Passo 2

Agora vamos tentar melhorar a expressão dentro da integral antes de substituir u !

tan 3 ⁡ x cos ⁡ x = sin 3 ⁡ x cos 3 ⁡ x × cos ⁡ x

tan 3 ⁡ x cos ⁡ x = sin 3 ⁡ x cos 2 ⁡ x

Relembrando que :

sin 2 ⁡ x   = 1 - cos 2 ⁡ x

Teremos:

tan 3 ⁡ x cos ⁡ x = 1 - cos 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x × sin ⁡ x

E para melhorar a visualização na hora de substituir vamos reescrever a Integral assim:

∫ tan 3 ⁡ x cos ⁡ x d x =   ∫ 1 - cos 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x sin ⁡ x d x

Passo 3

Já temos como escrever tudo em função de u , então faremos a substituição e ficará assim:

∫ tan 3 ⁡ x cos ⁡ x d x = ∫ - 1 - u 2 u 2 d u

∫ tan 3 ⁡ x cos ⁡ x d x = ∫ - 1 u 2 + 1 d u

∫ tan 3 ⁡ x cos ⁡ x d x = u + 1 u + C

Voltando ao x , pois ele é a nossa variável, o   u foi apenas uma ferramenta para conseguirmos calcular a integral!!!

∫ tan 3 ⁡ x cos ⁡ x d x = cos ⁡ x + 1 cos ⁡ x + C

∫ tan 3 ⁡ x cos ⁡ x d x = cos ⁡ x + sec ⁡ x + C

Resposta

∫ tan 3 ⁡ x cos ⁡ x d x = cos ⁡ x + sec ⁡ x + C

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