3.Calcule.

∫ sin ⁡ x sec 3 ⁡ x d x

Passo 1

Oi, pessoal! A gente consegue resolver essa integral fazendo uma substituição simples! Mas antes de usarmos essa técnica de integração, vamos precisar dar uma mexida na função.

Lembra que,

sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x

Então, podemos escrever a nossa integral dessa forma,

∫ sin ⁡ x sec 3 ⁡ x d x = ∫ sin ⁡ x cos 3 ⁡ x d x

Partiu integrar?!

Passo 2

A substituição que vamos fazer será,

u = cos ⁡ x

d u = - sin ⁡ x d x

Substituindo na integral,

∫ - d u u 3 = ∫ - u - 3 d u = u - 2 2 + C = 1 2 u 2 + C

Voltando para variável x

∫ sin ⁡ x sec 3 ⁡ x d x = 1 2 cos 2 ⁡ x + C

Mas lembra que sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x , então,

∫ sin ⁡ x sec 3 ⁡ x d x = sec 2 ⁡ x 2 + C

Resposta

∫ sin ⁡ x sec 3 ⁡ x d x = sec 2 ⁡ x 2 + C

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