3. Calcule e verifique sua resposta por derivação

l )   ∫ 1 3 + 5 2 cos ⁡ 7 x   d x

Passo 1

Para facilitar as contas, podemos separar essa integral em duas por se trata se uma subtração de termos. Assim,

∫ 1 3 d x +   ∫ 5 2 cos ⁡ 7 x   d x

Passo 2

Agora, sabendo que ambas se tratam de primitivas imediatas. Como a primeira integral se trata de uma constante, temos a primitiva imediata dada por ∫ c   d x = c x + k ,   sendo c e k constantes. Enquanto que a segunda integral é da função cosseno, com primitiva imediata dada ∫ cos ⁡ α x   d x = 1 α sin ⁡ α x + k , sendo k uma constante. Logo,

∫ 1 3 d x +   ∫ 5 2 cos ⁡ 7 x   d x = 1 3 x + 1 7 * 5 2 sin ⁡ 7 x + k = 1 3 x + 5 14 sin ⁡ 7 x + k

Passo 3

Vamos derivar o resultado que obtivemos para conferir se a integral está correta. Para isso, precisamos lembrar que a derivada de um polinômio é dada por ( x α ) ' =   α x α - 1 e que ( sin ⁡ u ) ' = u ' cos ⁡ u   . Então,

1 3 x + 5 14 sin ⁡ 7 x + k   ' =   1 3 x ' + 5 14 sin ⁡ 7 x   ' + k ' = 1 3 + 7 5 14 cos ⁡ 7 x + 0 = 1 3 + 5 2 cos ⁡ 7 x

Ou seja, a integração está correta

Resposta

Portanto, o resultado a integração é

∫ 1 3 + 5 2 cos ⁡ 7 x   d x =   1 3 x + 5 14 sin ⁡ 7 x + k

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