Enunciado

41-42 (a) Complete a tabela e dê uma estimativa para o limite indicado. (b) Encontre o valor exato do limite.

41- f x = s e n x - 5 x 2 - 25 ;     lim x → 5 ⁡ f ( x )

Passo 1

a)Gente, esse item é muito tranquilo, vamos substituir os valores de x indicados na função e descobrir o f ( x ) correspondente.

-Para x = 4, temos:

f 4 = s e n 4 - 5 16 - 25 = 0,00194

-Para x = 4,5 , temos:

f 4,5 = s e n 4,5 - 5 20,25 - 25 = 0,00184

-Para x = 4,9 , temos:

f 4,9 = s e n 4,9 - 5 24,01 - 25 = 0,00176

-Para x = 5,1 , temos:

f 5,1 = s e n 5,1 - 5 26,01 - 25 = 0,00173

-Para x = 5,5 , temos:

f 5,5 = s e n 5,5 - 5 30,25 - 25 = 0,00166

-Para x = 6 , temos:

f 5,5 = s e n 6 - 5 36 - 25 = 0,00160

Dessa forma,

Passo 2

b)Temos que:

lim x → 5 ⁡ s e n x - 5 x 2 - 25

Abrindo o denominador:

lim x → 5 ⁡ s e n x - 5 x - 5 × 1 x + 5

Como o limite dos produtos é o produto dos limites, temos:

lim x → 5 ⁡ s e n x - 5 x - 5 × l i m x → 5 1 x + 5

Bom, vamos resolver o primeiro limite..... Eu não sei vocês, mas eu percebi uma coisa nesse limite, ele me lembra um certo teorema:

lim x → 0 ⁡ s e n x x = 1

Mas, claro que, antes de usarmos esse teorema, vamos ter que ajustar o nosso limite.

Substituindo x - 5 por u , temos o seguinte limite:

lim u → 0 ⁡ s e n u u = 1

Passo 3

Resolvendo o segundo limite, temos:

l i m x → 5 1 x + 5 = 1 10

Dessa forma,

lim x → 5 ⁡ s e n x - 5 x 2 - 25 = 1 × 1 10 = 1 10

Resposta

a)

b)   1 10

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