Enunciado

Encontre os valores de C e K para que a função seja contínua em ( - ∞ , + ∞ )

f x = x + 2 c   s e   x < - 2 3 c x + k     s e   - 2 ≤ x ≤ 1 3 x - 2 k   s e   1 < x

Passo 1

Como as funções separadas são polinômios de grau 1, sabemos que são contínuas sozinhas. Porém, nosso desafio será encontrar C e K de modo que as pontas de seus gráficos se unam.

Passo 2

Para isso, vamos calcular os limites laterais em x = - 2

lim x → - 2 - ⁡ f ( x ) = lim x → - 2 - ⁡ x + 2 c = - 2 + 2 c

lim x → - 2 + ⁡ f ( x ) = lim x → - + 2 + ⁡ 3 c x + k = - 6 c + k

Como os limites devem ser iguais, temos então - 2 + 2 c = - 6 c + k , ou seja, 8 c - k = 2 . Note que nada podemos fazer com apenas uma equação e duas incógnitas, então vamos ao próximo passo.

Passo 3

Vamos agora calcular os limites laterais em x = 1

lim x → 1 - ⁡ f ( x ) = lim x → 1 - ⁡ 3 c x + k = 3 c + k

lim x → 1 + ⁡ f ( x ) = lim x → 1 + ⁡ 3 x - 2 k = 3 - 2 k

Como os limites devem ser iguais, então 3 c + k = 3 - 2 k , ou seja, 3 k + 3 c = 3 . Repare que, apenas com essa informação também não vamos a lugar nenhum. Vamos juntar os passos.

Passo 4

Resolvendo o sistema: 8 c - k = 2 3 k + 3 c = 3 podemos dividir a segunda equação por 3 e somando com a primeira, obtendo 9 c = 3 , ou seja, c = 1 3 . Substituindo na segunda, temos k = 2 3

Resposta

c = 1 3

k = 2 3

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Dê um exemplo para mostrar que o produto de duas funções f e g pode ser contínuo em um número x = a , onde f é contínua mas g é descontínua.
Dê um exemplo de duas funções que sejam descontínuas num número x = a , mas cuja soma seja contínua.
A função f é definida por f x = lim n → 0 ⁡ 2 n x n 2 - n x Faça um esboço do gráfico de f. Em que valores de x f é descontínua?
Se f x = - xs ex0 1s ex ≥ 0eg x = 1s ex0 xs ex ≥ 0 Prove que f e g são descontínuas em 0 mas o produto f.g é contínuo em 0.
Prove que se f é contínua em x = a e g é descontínua em x = a , então f+g é descontínua em x = a .