Enunciado

Encontre os valores de C e K para que a função seja contínua em ( - ∞ , + ∞ )

f x = x   s e   x ≤ 1 c x + k   s e   1 < x < 4 - 2 x   s e   4 ≤ x

Passo 1

Como as funções separadas são polinômios de grau 1, sabemos que são contínuas sozinhas. Porém, nosso desafio será encontrar C e K de modo que as pontas de seus gráficos se unam.

Passo 2

Para isso, temos que calcular os limites laterais em x = 1

lim x → 1 - ⁡ f ( x ) = l i m x → 1 - x = 1

l i m x → 1 + f x = l i m x → 1 + c x + k = c + k

Como devem ser iguais para que seja contínua, temos c + k = 1 . Nessa equação, por ter duas incógnitas, não podemos achar solução exata. Assim, vamos ao limite lateral para x = 4

Passo 3

Limites laterais em x = 4 :

l i m x → 4 - f x =   l i m x → 4 - c x + k = 4 c + k

l i m x → 4 + f x = l i m x → 4 + - 2 x = - 8

Como devem ser iguais para ser contínua, temos 4 c + k = - 8 . Mas essa equação sozinha também não nos retorna solução.

Passo 4

Para acharmos solução, resolvemos o sistema com as equações do passo 2 e 3, tendo

c + k = 1 4 c + k = - 8

Ao subtrair a primeira da segunda, obtemos 3 c = - 9 , então c = - 3 e, substituindo na primeira, temos k = 4 .

Assim, esses são os valores de C e K para que f seja contínua em todos os reais.

Resposta

c = - 3

k = 4

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