Enunciado

41-44. Use um recurso computacional para encontrar a aproximação pelo ponto médio da integral usando n = 20 subintervalos, e então encontre o valor exato da integral usando a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo.

43. ∫ - 1 1 sec 2 ⁡ x d x

Passo 1

Utilizando um recurso computacional para encontrar a aproximação pelo ponto métio da integral usando n = 20 subintervalos chegamos no seguinte resultado, galera:

∫ - 1 1 sec 2 ⁡ x d x ≈ 3,106017890

Agora temos que encontrar o valor exato da integral utilizando o TFC (Parte 1), que nos diz o seguinte:

“Se f for contínua em a ,   b e F for uma antiderivada de f nesse intervalo então:

∫ a b f x d x = F b - F ( a ) "

Aqui vale ressaltar que F é o resultado da integral (antiderivada de f ), ok? Show!

Passo 2

Então galera, para a integral que nos foi dada, qual é a função que quando derivamos resulta em sec 2 ⁡ x ? De acordo com o que estudamos em derivadas, temos que o resultado é:

∫ - 1 1 sec 2 ⁡ x d x = t g   x 1 - 1

Aplicando o TFC, teremos:

t g   x 1 - 1 = 2 t g   1 ≈ 3,114815450

∴ ∫ - 1 1 sec 2 ⁡ x d x ≈ 3,114815450

E está aí nosso resultado, galera! 😉

Resposta

∫ - 1 1 sec 2 ⁡ x d x ≈ 3,114815450

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