Enunciado

41-44. Use um recurso computacional para encontrar a aproximação pelo ponto médio da integral usando n = 20 subintervalos, e então encontre o valor exato da integral usando a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo.

42. ∫ 0 π 2 s e n   x d x

Passo 1

Utilizando um recurso computacional para encontrar a aproximação pelo ponto métio da integral usando n = 20 subintervalos chegamos no seguinte resultado, galera:

∫ 0 π 2 s e n   x d x ≈ 1,000257067

Agora temos que encontrar o valor exato da integral utilizando o TFC (Parte 1), que nos diz o seguinte:

“Se f for contínua em a ,   b e F for uma antiderivada de f nesse intervalo então:

∫ a b f x d x = F b - F ( a ) "

Aqui vale ressaltar que F é o resultado da integral (antiderivada de f ), ok? Show!

Passo 2

A integral que nos foi dada tem resultado tabelado, pessoal! Qual é a função que quando derivamos resulta em s e n   x ? O resultado é:

∫ 0 π 2 s e n   x d x = - cos ⁡ x π 2 0

Aplicando o TFC, teremos:

- cos ⁡ x π 2 0 = 0 - - 1 = 1

∴ ∫ 0 π 2 s e n   x d x = 1

E está aí nosso resultado, galera! 😉

Resposta

∫ 0 π 2 s e n   x d x = 1

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