Enunciado

Calcule as integrais usando o Teorema Fundamental do Cálculo e (se for necessário) propriedades da integral definida.

∫ 0 π / 2 1 2 - s e n x d x

Passo 1

A primeira coisa que faremos é analisar quando a função dentro do módulo será nula:

1 2 - s e n x = 0

1 2 = s e n x

x = π 6

O intervalo fornecido pelo exercício é de 0 até π / 2 , onde 0 ≤ x ≤ π / 2 . Mas, no meio desse intervalo a função é nula, isso significa que vamos dividir em dois intervalos importantes, um extremo esquerdo onde teremos valores estritamente negativos dentro do módulo e outro a direita, onde os valores são positivos. O primeiro intervalo será:

0 ≤ x ≤ π 6

E também :

π 6 ≤ x ≤ π 2

Agora, podemos resovelr a integral:

∫ 0 π / 6 1 2 - s e n x d x = ∫ 0 π / 6 1 2 - s e n x   d x - ∫ π / 6 π / 2 1 2 - s e n x d x

Assim, conseguimos resolver a integral!

Passo 2

Vamos primeiro resolver a integral positiva, onde:

∫ 0 π 6 1 2 - s e n x   d x = x 2 + c o s ⁡ ( x ) 0 π 6

Então, temos a primeira integral.

Passo 3

Agora, resolveremos a integral negativa, onde:

∫ π 6 π 2 - 1 2 + s e n x   d x = - x 2 + c o s ⁡ ( x ) π 6 π 2

Feito isso, vamos pra parte final do exercício.

Passo 4

Retornando ao nosso foco principal que é resolver a integral:

∫ 0 π / 6 1 2 - s e n x d x = ∫ 0 π / 6 1 2 - s e n x   d x - ∫ π / 6 π / 2 1 2 - s e n x d x

Agora, com os termos calculados separamente, temos:

∫ 0 π / 6 1 2 - s e n x d x = x 2 + c o s ⁡ ( x ) 0 π 6 - x 2 + c o s ⁡ ( x ) π 6 π 2

∫ 0 π / 6 1 2 - s e n x d x = π 12 + 3 2 - 1 - π 4 - π 12 + 3 2  

∫ 0 π / 6 1 2 - s e n x d x = π 6 + 3 - 1 - π 4

∫ 0 π / 6 1 2 - s e n x d x = - π 12 + 3 - 1

Resposta

∫ 0 π / 6 1 2 - s e n x d x = - π 12 + 3 - 1

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