Enunciado

45. Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada curva. Confira seu trabalho por meio de um gráfico da curva e das estimativas das assíntotas.

y = x 3 - x x 2 - 6 x + 5

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! Temos a seguinte curva:

y = x 3 - x x 2 - 6 x + 5

E o enunciado pede pra a gente encontrar as suas as assíntotas horizontais e verticais e depois confirmar que o cálculo está certo esboçando o gráfico da função!

Para acharmos as assíntotas horizontais, vamos analisar o limite da função quando x tende para + ∞ e - ∞ . Sendo a assíntota:

lim x → ∞   ⁡ f ( x ) = L

Ou

lim x → - ∞   ⁡ f ( x ) = L

Já as assíntotas verticais geralmente estão relacionadas a um valor de x = a onde a o valor da nossa função não vai para + ∞ ou - ∞ .

lim x → a -   ⁡ f ( x ) = ± ∞

Ou

lim x → a +   ⁡ f ( x ) = ± ∞

Bora colocar a mão na massa então!

Passo 2

Começando pelas assíntotas horizontais, vamos analisar os limites para x tendendo a + ∞ e - ∞ .

Assim, para x tendendo a + ∞ :

lim x → ∞   ⁡ x 3 - x x 2 - 6 x + 5

Concorda comigo que quando x → ∞ então:

x 3 ≫ x

x 2 ≫ 6 x

x 2 ≫ 5

Então vamos reescrever o nosso limite assim:

lim x → ∞   ⁡ x 3 x 2 = lim x → ∞   ⁡ x

Sempre poderemos fazer isso quando tivermos na função um quociente entre duas funções polinomiais.

Então:

lim x → ∞   ⁡ x = ∞

Agora para x tendendo a - ∞ , temos que:

lim x → - ∞   ⁡ x = - ∞

Como não chegamos a uma constante no cálculo dos limites, isso nos diz que não temos nenhuma assíntota horizontal!

Passo 3

Agora vamos analisar as assíntotas verticais, isto é, quando nossa curva vai pro infinito. Lá em cima falamos que assíntotas verticais estão relacionados a um ponto onde a nossa função não está definida, vamos observar a nossa função:

y = x 3 - x x 2 - 6 x + 5

Podemos tentar dar uma simplificada nela fatorando o numerador e o denominador.

y = x 3 - x x 2 - 6 x + 5 = x x 2 - 1 x 2 - 6 x + 5

x x 2 - 1 x 2 - 6 x + 5 = x x + 1 x - 1 x - 1 x - 5

Então, simplificando o ( x - 1 ) , ficamos com:

y = x x + 1 x - 5

O y → ∞ quando o denominador é zero, isto é:

x - 5 = 0

x = 5

Portanto teremos uma assíntota vertical em:

x = 5

Passo 4

Fazendo um gráfico, temos:

Pelo gráfico, podemos confirmar que as assíntotas é realmente em x = 5 .

Resposta

Assíntota vertical:

x = 5

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Utilize limites para determinar as equações para todas as assíntotas horizontais. g ( x )=x 2+4 x
Utilize limites para determinar as equações para todas as assíntotas verticais. y=x 2+x-4 x 2+2 x-8
Para a função f cujo gráfico é dado, determine os seguintes limites. lim x → 4 ⁡ f ( x ) lim x → 2 + ⁡ f x lim x → 2 - ⁡ f x lim x → 2 ⁡ f x lim x → - 3 + ⁡ f x lim x → - 3 - ⁡ f x lim x → - 3 ⁡ f x l
Nos Exercícios 3-8, determine o limite de cada função a) quando x → ∞ e b) quando x → - ∞ . 5) f x = 1 2 + 1 x
Nos Exercícios 3-8, determine o limite de cada função a) quando x → ∞ e b) quando x → - ∞ . 3) f x = 2 x - 3