Calcule o limite, se existir.

lim t → 0 ⁡ 1 + t - 1 - t t

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... a questão quer que a gente calcule o seguinte limite:

lim t → 0 ⁡ 1 + t - 1 - t t

Em outras palavras, temos que dizer se o limite existe (isto é, quando ele tende a um número real) ou não (quando diverge).

Assim, primeiro temos que ver se tem uma indeterminação no limite apenas substituindo direto o valor para o qual o t está tendendo.

Se tiver indeterminação, então devemos fazer algumas manipulações algébricas para tentar “jogar fora” a possível indeterminação.

E aí?? Bora lá?? 😉

Passo 2

Nosso limite é o seguinte:

L = lim t → 0 ⁡ 1 + t - 1 - t t

A primeira coisa que podemos tentar é fazermos t = 0 , vamos ver o que acontece.

L = 1 - 1 0 = 0

Opaa, deu uma indeterminação!! Então vamos ter que dar uma mexida pra arrumar isso.

Passo 3

Como temos o termo 1 + t - 1 - t , é uma boa ideia multiplicarmos por 1 + t + 1 - t para aparecer a seguinte fatoração:

a - b a + b = a 2 - b 2

Então vamos lá!

1 + t - 1 - t t   = 1 + t - 1 - t t ⋅ 1 + t + 1 - t 1 + t + 1 - t

Logo,

1 + t - 1 - t t   = 1 + t - 1 - t t ⋅ ( 1 + t + 1 - t )

Portanto,

1 + t - 1 - t t   = 2 t t ⋅ ( 1 + t + 1 - t )

Como t tendo a 0 , isto é, nunca é 0 , podemos simplificar!

1 + t - 1 - t t   = 2 ( 1 + t + 1 - t )

Passo 4

Agora vamos ver como ficam as coisas l�� no limite

L = lim t → 0 ⁡ 2 ( 1 + t + 1 - t )

Para t = 0 :

L = 2 1 + 1 = 1

Resposta

lim t → 0 ⁡ 1 + t - 1 - t t = 1

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