Enunciado

47-48. Use um recurso computacional para gerar os gráficos de f ' e f ' ' no intervalo indicado; use os gráficos para estimar as coordenadas x dos pontos de inflexão de f , os intervalos nos quais f é côncava para cima ou para baixo e os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente. Verifique suas estimativas fazendo o gráfico de f .

47. f x = x 4 - 24 x 2 + 12 x ,     - 5 ≤ x ≤ 5

Passo 1

Então galera, o enunciado nos pede várias coisas, sendo assim vamos tomar cuidado para não embaralhar todos os dados, ok? Temos que nossa função é a seguinte:

f x = x 4 - 24 x 2 + 12 x

Primeiramente temos que descobrir f ' e f ' ' . Derivando, teremos:

f ' x = 4 x 3 - 48 x + 12

Pela segunda vez:

f ' ' x = 12 x 2 - 48

Ok, encontramos nossas derivadas! Agora plotando as derivadas teremos:

Vale ressaltar que só queremos analisar no intervalo de - 5 ,   5 , beleza? Então bora continuar!

Passo 2

Agora o que temos que encontrar são os pontos de inflexão da função. De acordo com o que vimos na literatura em questão, para encontrarmos isso devemos igualar a nossa derivada segunda a zero, isto é:

f ' ' x = 0

12 x 2 - 48 = 0

x 2 = 4

∴ x = ± 2

Ademais, para determinarmos os intervalos em que a concavidade de f é para cima ou para baixo basta analisarmos as desigualdades de f ' ' x para quando é maior que zero e para quando é menor do que zero. A concavidade de f está para cima quando:

f ' ' x > 0

12 x 2 - 48 > 0

x 2 > 4

x < - 2   o u   x > 2

Como a função está limitada, f tem concavidade para cima em - 5 ,   - 2 e em 2 ,   5 . Por fim, a concavidade de f está para baixo quando:

f ' ' x < 0

x 2 < 4

x < 2   o u   x > - 2

Como a função está limitada, f tem concavidade para baixo em - 2 ,   2 .

Passo 3

Para finalizar nossa análise (amém), basta determinarmos os intervalos em que a função é crescente e decrescente. Parecido com o que fizemos com a concavidade, agora temos que utilizar a derivada primeira, ou seja, f ' x , e não mais f ' ' x . A função é crescente quando:

f ' x > 0

4 x 3 - 48 x + 12 > 0

Resolvendo essa equação do terceiro grau teremos que f é crescente em - 3,5829 ; 0,2513 e 3,33 ; 5 . A função é decrescente quando:

f ' x < 0

4 x 3 - 48 x + 12 < 0

Resolvendo essa equação teremos que f é decrescente em - 5 ,   - 3,5829 e 0,2513 ; 3,33 . E está aí nossa análise completa, pessoal!

Resposta

Pontos de inflexão: x = ± 2 ;

Concavidade para cima: - 5 ,   - 2 e em 2 ,   5 ;

Concavidade para baixo: - 2 ,   2 ;

Intervalo crescente: - 3,5829 ; 0,2513 e 3,33 ; 5 ;

Intervalo decrescente: - 5 ,   - 3,5829 e 0,2513 ; 3,33 .

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