Enunciado

Seja f x = 2 x 3 - x . Faça o seguinte:

  1. Ache os extremos relativos de f pelo teste da derivada primeira;
  2. Determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem;
  3. Determine os intervalos nos quais f é crescente;
  4. Determine os intervalos nos quais f é decrescente;
  5. Faça um esboço do gráfico.

Passo 1

Observe que f apresenta uma raiz de ordem par, então é preciso que:

3 - x ≥ 0 ⇒

3 ≥ x ⇒

x ≤ 3

Assim, o domínio de f será ( - ∞ ,   3 ] .

Passo 2

Pelas regaras de derivação temos:

f ' x = 2 3 - x + 2 x . 1 2 3 - x - 1 2 . - 1 ⇒

f ' x = 2 3 - x - x 3 - x - 1 2 ⇒

f ' x = 2 3 - x - x 3 - x 1 2 ⇒

f ' x = 2 3 - x - x 3 - x

Note f ' ( x ) não existe para x = 3 . Então para este valor de x temos um ponto crítico de f . Os outros pontos críticos ocorrem quando f ' x = 0 . Assim:

f ' x = 0 ⇒

2 3 - x - x 3 - x = 0 ⇒

2 3 - x = x 3 - x ⇒

2 3 - x . 3 - x = x 3 - x . 3 - x ⇒

2 3 - x 2 = x ⇒

2 3 - x = x ⇒

6 - 2 x = x ⇒

6 = x + 2 x ⇒

6 = 3 x ⇒

3 x = 6 ⇒

x = 6 3 ⇒

x = 2

Assim os pontos críticos de f ocorrem quando x = 3 , ou x = 2 .

Passo 3

Como f não existe para x > 3 , não é possível aplicar o teste da derivada para x = 3 . Assim, para determinar se f tem um extremo relativo em x = 2 devemos aplicar o teste da primeira derivada. Desta forma:

→ 2 < x < 3 :

f ' x < 0 e f é decrescente.

→ x < 2 :

f ' x > 0 e f é crescente.

Logo f admite máximo relativo em x = 2 .

Passo 4

Observando o estudo da derivada feito anteriormente podemos fazer um esboço do gráfico de f x = 2 x 3 - x . O gráfico é dado por:

Resposta

Portanto, f x = 2 x 3 - x é crescente no intervalo - ∞ ,   2 , é decrescente em 2 ,   3 e admite máximo relativo em x = 2 .

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