Enunciado

Seja f x = x 4 + 4 x . Faça o seguinte:

  1. Ache os extremos relativos de f pelo teste da derivada primeira;
  2. Determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem;
  3. Determine os intervalos nos quais f é crescente;
  4. Determine os intervalos nos quais f é decrescente;
  5. Faça um esboço do gráfico.

Passo 1

Observe que f é uma função polinomial, logo é contínua e derivável para todo x real. Assim, pelas regras de derivação:

f ' x = 4 . x 3 + 1.4 x 0 ⇒

f ' x = 4 x 3 + 4

Como f ' ( x ) existe para todos valores de x , os pontos críticos de f ocorrem quando f ' x = 0 . Assim:

f ' x = 0 ⇒

4 x 3 + 4 = 0 ⇒

4 x 3 = - 4 ⇒

x 3 = - 4 4 ⇒

x 3 =   - 1 ⇒

x = - 1 3

Logo:

x = - 1

Assim o único ponto crítico de f ocorre quando x = - 1 .

Passo 2

Para determinar se f tem um extremo relativo em x = - 1 devemos aplicar o teste da primeira derivada. Assim:

→ x < - 1 :

f ' x < 0 e f é decrescente.

→ x > - 1 :

f ' x > 0 e f é crescente.

Logo, pelo teste da primeira derivada, em x = - 1 temos um ponto de mínimo relativo de f .

Passo 3

Observando o estudo da derivada feito anteriormente podemos fazer um esboço do gráfico de f x = x 4 + 4 x . O gráfico é dado por:

Resposta

Portanto, f x = x 4 + 4 x é crescente no intervalo ( - ∞ ,   - 1 ) , crescente no intervalo ( - 1 ,   + ∞ ) e admite mínimo relativo em x = - 1 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios de 1 a 40, faça o seguinte: (a) ache os extremos relativos de f pelo teste da primeira derivada; (b) determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem; (c) determine os
41. Prove o Teorema 4.4.3 (ii)
Nos Exercícios de 1 a 40, faça o seguinte: (a) ache os extremos relativos de f pelo teste da primeira derivada; (b) determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem; (c) determine os
Nos Exercícios de 1 a 40, faça o seguinte: (a) ache os extremos relativos de f pelo teste da primeira derivada; (b) determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem; (c) determine os
Nos Exercícios de 1 a 40, faça o seguinte: (a) ache os extremos relativos de f pelo teste da primeira derivada; (b) determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem; (c) determine os