Enunciado

48. Prove que o retângulo que tem a base no eixo x e dois vértices na curva y = e - x 2 , terá a maior área possível se os seus vértices estiverem nos pontos de inflexão do gráfico.

Passo 1

Vamos desenhar a curva e o retângulo pra poder visualizar melhor o que a questão pede, então calculamos a maior área possível, quer dizer, precisaremos calcular um ponto de máximo.

Passo 2

Colocando no gráfico a curva y = e - x 2 e desenhando um retângulo, temos:

O retângulo tá com base no eixo x e o vértice no primeiro quadrante tá no ponto x , f ( x ) , então o comprimento dele é 2 x e a altura é f ( x ) certinho? No primeiro quadrante x > 0 ;)

Passo 3

Agora a área desse retângulo será A ( x ) = 2 x f ( x ) e como precisamos achar a maior área vamos derivar essa função área e igualar a zero, ok?

Como f ( x ) = e - x 2 ...

A ( x ) = 2 x e - x 2

Derivando essa equação

A ' x = 2 x e - x 2 - 2 x + e - x 2 . 2 = 2 ( 1 - 2 x 2 ) e x 2

A ' x = 0

2 ( 1 - 2 x 2 ) e x 2 = 0

2 ( 1 - 2 x 2 ) = 0

2 - 4 x 2 = 0

4 x 2 = 2

x = 2 2

Passo 4

Agora se você observar (substituindo x em A ' ( x ) ), vai notar que

A ' x > 0 para 0 < x < 2 2

e

A ' x < 0 para x > 2 2

então x = 2 2 é um máximo global e é a inflexão da nossa f ( x ) ! Como a curva é simétrica o outro ponto será x = - 2 2 .

É isso, provamos que a maior área desse retângulo é com os vértices nos pontos de inflexão

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Use a Definição 2.2 . 1 para encontrar f ' x e, então, encontre a reta tangente ao gráfico de y = f x em x = a . f x = 1 x 2 ; a = - 1
Use a Definição 2.2 . 1 para encontrar f ' x e, então, encontre a reta tangente ao gráfico de y = f x em x = a . f x = 2 x + 1 ; a = 4
Use a Fórmula 12 para encontrar d y d x . y = x 2 - x
Use a Fórmula 12 para encontrar d y d x . y = x 4
Use a Definição 2.2 . 1 (com a mudança apropriada na notação) para obter a derivada pedida.Encontre d V d r se V = 4 3 π r 3 .