Enunciado

Seja R a região limitada pelas curvas y = f 1 x e y = f 2 ( x ) . Se A for a medida da área de R e y - for a coordenada do centróide de R , prove que a medida do volume V do sólido de revolução obtido ao girarmos R em torno do eixo x é dada por V = 2 π y - A . Enunciando esta igualdade temos que:

Se uma região plana girar em torno de uma reta em seu plano que não corta a região, então, a medida do volume do sólido de revolução gerado será igual ao produto da medida da área da região pela medida da distância percorrida pelo centróide da região.

O enunciado acima é conhecido como o teoram de Pappus para volume de sólidos de revolução.

Passo 1

Seja R limitada por baixo por y = f 1 x e por cima por y = f 2 ( x ) , x ∈ [ a , b ] .

V = lim ∆ → 0 ⁡ ∑ i = 0 n π f 2 m i 2 - f 1 m i 2 ∆ i x = 2 π ∫ a b 1 2 f 2 x 2 - f 1 x 2 d x V = 2 π M x = 2 π M x A A = 2 π y - A

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas. y = x - 2ey = 2 - x - 2 2
Calcular a área da parte da circunferência x = 2 cos ⁡ t y = 2s e nt Que está acima da reta y = 1 .