Enunciado

50. A equação Q = 12 e - 0,55 t dá a massa Q em gramas do potássio radioativo 42 que irá restar de uma quantidade inicial após t horas de decaimento redioativo.

  1. Quantas gramas havia inicialmente?
  2. Quantos gramas permanecem depois de 4 hras?
  3. Quanto tempo irá levar para reduzir pela metade a quantidade inicial de potássio radioativo 42?

Passo 1

Show de bolinhas galera, o enunciado deu pra gente a exponencial:

Q t = 12 e - 0,55 t

Essa função fornece a quantidade de potássio, em gramas, de acordo com o tempo t , medido em horas. O enunciado pede informações sobre alguns pontos especificios dessa função. Cola aqui comigo que a gente vai ver isso ai certinho.

Passo 2

Na letra (a), ele quer saber quantas gramas havia inicialmente, quando ele diz isso, quer dizer que ele quer saber a quantidade no tempo inicial, ou seja, o primeiro tempo onde começa medição dado por t = 0 , substituindo esse valor na função, chegamos em:

Q 0 = 12 e - 0,55 ( 0 ) = 12 e 0

Como todo numero elevado ao expoente zero, resulta em 1, temos que e 0 = 1 , logo:

Q 0 = 12

Portanto, a quantidade inicial de potássio que havia era de 12 gramas.

Passo 3

Iradoso, agora na letra (b), já queremos saber quantas gramas permanecem após 4 horas, isto é, queremos Q 4 :

Q 4 = 12 e - 0,55 ( 4 )

Q 4 = 12 e - 2,2 = 12 e 2,2

Q 4 = 1,3

Passo 4

Show de bolinhas então, aqui na letra (c), queremos saber quanto tempo irá levar para reduzir pela metade a quantidade inicial de potássio. A quantidade inical a gente descobriu no Passo 1, temos 12 gramas inicialmente, logo metade disso equivale a 6 gramas. Nossa equação fica:

Q t = 12 e - 0,55 t

Q t = 6

6 = 12 e - 0,55 t

1 2 = e - 0,55 t

Belezoca, queremos encontrar o tempo t que satisfaz essa igualdade, como estamos falando do exponencial natural, a função inversa dela é o logaritmo natural, ln ⁡   . Vamos aplicar ele dos dois lados dessa igualde então, assim ó:

1 2 = e - 0,55 t

ln ⁡ 1 2 = ln ⁡ e - 0,55 t

Logo:

ln ⁡ 1 2 = - 0,55 t

Outra malandragem que a gente pode fazer aqui é, que:

1 2 = 2 - 1

E a malicia nisso é que o expoente do logaritmando sempre desce multiplicando, desse jeito ó:

ln ⁡ 1 2 = ln ⁡ 2 - 1

ln ⁡ 2 - 1 = - ln ⁡ 2

Passo 5

Dito isso, a gente pode reescrever nossa igualdade como:

ln ⁡ 1 2 = - 0,55 t

- ln ⁡ 2 = - 0,55 t

ln ⁡ 2 = 0,55 t

t = ln ⁡ 2 0,55 = 1,26

Portanto depois de t = 1,26   h o r a s , a quantidade de gramas de potássio será metade da inicial, 6 gramas. Podemos conferir o resultado fazendo Q ( 1,26 ) :

Q 1,26 = 12 e - 0,55 1,26 = 12 e 0,693 = 6

Resposta

  1. Q 0 = 12 gramas.
  2. Q 4 = 1,3 gramas.
  3. t = 1,26 horas.
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Utilize as leis de exponenciação para simplificar a expressão: 2 2 4
Esboce as curvas exponenciais transladadas. y = 2 x - 1 y = 2 - x - 1
Esboce as curvas exponenciais transladadas. y = 3 x + 2 y = 3 - x + 2
Esboce as curvas exponenciais transladadas. y = - 1 - e x y = - 1 - e - x
Esboce as curvas exponenciais transladadas. y = 1 - e x y = 1 - e - x