Enunciado

50. Se uma parábola tiver seu foco na origem e o eixo x como eixo, prove que ela deve ter uma equação da forma y 2 = 4 k x + 4 k 2 ,   k ≠ 0 .

Passo 1

Primeiro vamos ver que uma parábola com o eixo dado pelo eixo x tem como equação base:

y - h 2 = 4 p ( x - k )

Como o foco está na origem e o vértice tem que está no eixo da parábola então o foco e o vértice têm a mesma coordenada y que é 0, logo h = 0 , como k representa a coordenada x do vértice, podemos falar que nosso vértice tem a seguinte cara:

V = ( - k , 0 )

Ficou - k pelo fato do vértice está a esquerda do foco e foco estando na origem, k vai ser negativo

Passo 2

Agora, nós sabemos que a distância entre o foco e o vértice vale p, como eles estão na mesma reta horizontal (eixo x) e o foco na origem, logo:

p = k

Passo 3

Substituindo o que sabemos na equação do passo 1, ficamos com:

y - h 2 = 4 p ( x - k )

y - 0 2 = 4 ⋅ k x - ( - k )

y 2 = 4 k x + k

y 2 = 4 k x + 4 k 2

Com isso está demonstrado o que o enunciado pede.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Nos exercícios de 21 a 26, ache uma nova equação para o gráfico da equação dada após uma translação de eixos para a nova origem, conforme está indicado. Trace os eixos originais e os novos e faça um e
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