Enunciado

Nos Exercícios de 33 a 40, ache uma equação da parábola com as propriedades dadas. Faça um esboço do gráfico.

40. Os extremos do latus rectum são ( 1 ,   3 ) e ( 7 ,   3 ) .

Passo 1

Para resolver esse problema, precisamos entender o que é o latus rectum. Ele é um seguimento de reta que tem o foco como ponto médio, e ele vai de uma extremidade a outra da parábola, como a figura mostra a seguir:

Passo 2

Sabemos que o valor absoluto do latus rectum tem como valor igual a 4 p , usando o que o enunciado nos deu o comprimento dele é:

7 - 1 = 6

4 p = 6

p = 3 2

Como o foco é ponto médio desse segmento, temos que:

F = ( 4 ,   3 )

Passo 3

Agora observando as disposições dos pontos extremos do latus rectum e do foco, constatamos que a parábola tem concavidade para cima.

Então temos o seguinte modelo de equação da parábola:

x - h 2 = 4 p y - k

Agora precisamos achar os valores de h, p e k para a situação que temos.

Passo 4

O valor de p já achamos no passo 2, agora vamos achar h e k.

Achar h e k é fácil, eles representam as coordenadas do vértice, onde h é a coordenada x do vértice e k a coordenada y. E para achar o vértice basta lembrar que ele deve ficar na mesma reta do foco e na direção da abertura da parábola, a uma distância p = 3 2 do foco.

Assim:

3 - 3 2 = 3 2

As coordenadas do vértice são:

V = 4 , 3 2

Passo 5

Agora colocando tudo que encontramos na equação ela toma a seguinte forma:

x - h 2 = 4 p y - k

x - 4 2 = 4 ⋅ 3 2 y - 3 2

x - 4 2 = 6 y - 3 2

Passo 6

O gráfico que representa a equação da parábola é da seguinte maneira:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Prove que o comprimento do latus rectum de uma parábola é 4 p .
Para a parábola, ache as coordenadas do foco, a equação da diretriz e o comprimento do latus rectum. Faça um esboço da parábola. y 2 = - 8 x
Ache uma equação da parábola com as propriedades dadas.Foco ( 5 ,0 ) ; diretriz x = - 5 .
Ache uma equação da parábola com as propriedades dadas.Foco 1 2 ,0 ; diretriz 2 x + 1 = 0 .
Para a parábola, ache as coordenadas do foco, a equação da diretriz e o comprimento do latus rectum. Faça um esboço da parábola. x 2 + y = 0