Enunciado

Seja

f x = x 2 + 1             s e   x < 1 x - 2 2       s e   x ≥ 1

  1. Encontre lim x → 1 - ⁡ f ( x ) e lim x → 1 + ⁡ f ( x ) .
  2. lim x → 1 ⁡ f ( x ) existe?
  3. Esboce o gráfico de f .

Passo 1

Falaiii galerinha do RA, bora resolver essa questão juntinho comigo?

Simboraaaa...

Na teoria dos limites em cálculo, um limite descreve o comportamento de uma função à medida que a variável independente (geralmente denotada por x se aproxima de um certo valor. Especificamente, estamos interessados na situação em que x se aproxima de um valor a .Denotamos este limite como:

lim x → a ⁡ f ( x )

Isso significa que estamos olhando para o comportamento de f ( x ) quando x se aproxima de a .

Se o limite existe, ele descreve o valor que a função se aproxima à medida que x se aproxima de a .

Existem dois conceitos importantes relacionados aos limites: limites laterais e o próprio limite.

Limites Laterais: Quando falamos sobre o limite de uma função em um ponto a , geralmente estamos interessados em como a função se comporta à esquerda e à direita de a . Estes são conhecidos como limites laterais.

Denotamos o limite da função à medida que x se aproxima de a pela esquerda como lim x → a - ⁡ f ( x ) e o limite à medida que x se aproxima de a   pela direita como o lim x → a + ⁡ f ( x ) .

Passo 2

Existência de Limite: Dizemos que

lim x → a ⁡ f ( x )

existe se e somente se lim x → a - ⁡ f x é igual a lim x → a + ⁡ f x .

Isso implica que a função tem um comportamento definido à medida que x se aproxima de a .

Passo 3

Para o item (a), temos o seguinte:

lim x → 1 - ⁡ f ( x )

Como estamos vindo da esquerda, estamos no caso em que x < 1 . Logo,

f x = x 2 + 1

Assim,

lim x → 1 - ⁡ f x =   lim x → 1 - ⁡ x 2 + 1

Para x = 1 :

lim x → 1 - ⁡ f x =   1 2 + 1 = 2

Agora vamos analisar o seguinte caso:

lim x → 1 + ⁡ f ( x )

Dessa vez estamos vindo da direita, isto é, x ≥ 1 . Logo,

lim x → 1 + ⁡ f ( x ) = lim x → 1 + ⁡ x - 2 2

Para x = 1 :

lim x → 1 + ⁡ f x = 1 - 2 2 = 1

Passo 4

Item (b) Para existir lim x → 1 ⁡ f ( x ) , os limites laterais precisam ser iguais.

Como os limites laterais são diferentes, lim x → 1 ⁡ f ( x ) não existe!

lim x → 1 - ⁡ f x =   2

lim x → 1 + ⁡ f x = 1

Passo 5

Item (c) Agora é só esboçarmos o gráfico!

Vamos agora desenhar o gráfico da função f ( x ) para visualizar melhor seu comportamento em torno do ponto x = 1 .

A função f ( x ) é definida como:

x < 1 :

f x = x 2 + 1

x ≥ 1 :

f x = x - 2 2

Para desenhar o gráfico, podemos dividir a função em duas partes distintas para os intervalos x < 1   e   x ≥   1

Para x < 1 :

Nesse intervalo, f x = x 2 + 1

Esta é uma parábola com concavidade voltada para cima, passando pelo ponto ( 0 ,   1 ) como mostra a figura abaixo:

Para x ≥ 1 :

Nesse intervalo, f x = x - 2 2

Esta é uma parábola com concavidade voltada para cima, com o vértice deslocado para a direita em 2 unidades, como mostra a figura abaixo:

Agora, podemos unir essas duas partes para desenhar o gráfico completo de f x :

A função f ( x ) possui uma descontinuidade em x = 1 , onde os limites laterais não são iguais.

Isso é evidenciado pela mudança repentina na função de x 2 + 1 para f x = x - 2 2 .

O gráfico será uma parábola suave até x = 1 , onde haveria um "salto" abrupto para outra parábola, como mostra o gráfico abaixo.

Resposta

  1. lim x → 1 - ⁡ f x =   2

    lim x → 1 + ⁡ f x = 1

  2. Não existe.

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