Enunciado

Calcule o limite, se existir.

27) lim x → 9 ⁡ x ² - 81 x - 3

Passo 1

Bom galera, o primeiro passo em limite é sempre substituir o valor, mas fazendo isso achamos uma indeterminação:

lim x → 9 ⁡ x ² - 81 x - 3 = 9 2 - 81 9 - 3 = 0 0

Nesse caso, temos que manipular a função, pra sumir com essa indeterminação! Mas como?

Repara que no numerador, nós temos uma diferença de quadrados, e tem uma fatoração perfeita pra isso:

a 2 - b 2 = ( a + b ) ( a - b )

Então bora lá fatorar o numerador!

Passo 2

Fatorando numerador:

x 2 - 81 = x ² - 9 2 = ( x + 9 ) ( x - 9 )

Então:

lim x → 9 ⁡ x ² - 81 x - 3 = lim x → 9 ⁡ ( x + 9 ) ( x - 9 ) x - 3

Hmmm, não resolveu nada! Vamos mexer aqui mais um pouquinho pra facilitar a nossa vida.

O termo x - 9 não é uma diferença de quadrados, mas se a gente lembrar que

x = x 2

Podemos escrever que:

x - 9 = x 2 - 3 2 = ( x - 3 ) ( x + 3 )

Sendo assim:

lim x → 9 ⁡ ( x + 9 ) ( x - 9 ) x - 3 = lim x → 9 ⁡ ( x + 9 ) ( x - 3 ) ( x + 3 ) x - 3

Ufa! Agora sim! Se a gente cortar x - 3 no numerador com o denominador, ficamos com:

l i m x → 9 ( x + 9 ) ( x + 3 )

Passo 3

Agora vamos calcular o limite!

Temos uma propriedade que diz que o limite do produto é igual ao produto dos limites, então:

l i m x → 9 x + 9 x + 3 = l i m x → 9 x + 9 × l i m x → 9 ( x + 3 )

Também temos uma propriedade que diz que o limite da soma é igual à soma dos limites, então:

l i m x → 9 x + 9 × l i m x → 9 ( x + 3 ) = l i m x → 9   x + l i m x → 9   9 × ( l i m x → 9 x + l i m x → 9   3 )

O limite da raiz também vai ser a raiz do limite:

l i m x → 9   x + l i m x → 9   9 × ( l i m x → 9 x + l i m x → 9   3 ) = l i m x → 9   x + l i m x → 9   9 × ( l i m x → 9   x + l i m x → 9   3 )

E o limite de uma constante é igual à própria constante:

l i m x → 9   x + l i m x → 9   9 × l i m x → 9   x + l i m x → 9   3 = l i m x → 9   x + 9 × l i m x → 9   x + 3

Ufa! Chega de propriedades!

l i m x → 9   x + 9 × l i m x → 9   x + 3 = 9 + 9 × 9 + 3 = 18 × 6

E nossa resposta é:

lim x → 9 ⁡ x ² - 81 x - 3 = 108

Resposta

lim x → 9 ⁡ x ² - 81 x - 3 = 108

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