Enunciado

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51. Verifique que os seguintes pares de curvas se encontrem ortogonalmente.

a) x 2 + y 2 = 4 ,       x 2 = 3 y ²

Passo 1

Para que essas curvas sejam ortogonais entre si, o produto entre seus coeficientes angulares nos pontos de incidência têm que ser - 1 . Em outras palavras:

m 1 . m 2 = - 1

Sabendo disso, então devemos procurar duas coisas: os pontos em que as funções se encontram e as derivadas implícitas de ambas as funções, uma vez que essas derivadas são os coeficientes angulares, beleza? Lembrando também que para derivarmos implicitamente essas equações, devemos seguir os passos:

1. Derivar ambos os lados da equação em relação a x , considerando y como uma função derivável de x ;

2. Agrupar os termos que possuem d y d x em um lado da equação e isolar d y d x .

Então bora lá!

Passo 2

Para descobrir os pontos, vamos substituir uma equação na outra:

x 2 + y 2 = 4 ⇒ 3 y 2 + y 2 = 4

∴ y = ± 1

Para y = 1 , temos:

x 2 = 3 y 2 ⇒ x 2 = 3

∴ x = ± 3

Para y = - 1 , temos:

x 2 = 3 y 2 ⇒ x 2 = 3

∴ x = ± 3

Então os pontos que as funções incidem são: 3 ,   1 ,   3 , - 1 , - 3 , 1   e   - 3 ,   - 1 .

Passo 3

Agora só precisamos determinar as derivadas das funções para iniciarmos as substituições dos pontos, beleza? Derivando, temos:

x 2 + y 2 = 4

2 x + 2 y . d y d x = 0

∴ d y d x = - x y = m 1

x 2 = 3 y ²

2 x = 6 y . d y d x

∴ d y d x = 1 3 . x y = m 2

Passo 4

Agora que descobrimos as funções dos coeficientes angulares, vamos substituir os pontos para determinarmos se são, de fato, ortogonais.

Para 3 ,   1 , temos:

m 1 = - 3 1 = - 3

m 2 = 1 3 . 3 1 = 3 3

∴ m 1 . m 2 = - 1   ( v e r d a d e i r o )

Para 3 , - 1 , temos:

m 1 = - 3 - 1 = 3

m 2 = 1 3 . 3 - 1 = - 3 3

∴ m 1 . m 2 = - 1   ( v e r d a d e i r o )

Para - 3 , 1 , temos:

m 1 = - - 3 1 = 3

m 2 = 1 3 . - 3 1 = - 3 3

∴ m 1 . m 2 = - 1   ( v e r d a d e i r o )

Para - 3 ,   - 1 , temos:

m 1 = - - 3 - 1 = - 3

m 2 = 1 3 . - 3 - 1 = 3 3

∴ m 1 . m 2 = - 1   ( v e r d a d e i r o )

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