Enunciado

41. Tangentes paralelas Determine os dois pontos em que a curva x 2 + x y + y 2 = 7 cruza o eixo x e mostre que as tangentes à curva nesses pontos são paralelas. Qual é o coeficiente angular comum dessas tangentes?

Passo 1

Quando essa curva cruzar o eixo x sua coordenada em y vai ser: y = 0

x 2 + x ( 0 ) + 0 2 = 7

x 2 = 7

x = ± 7

Logo, os pontos em que a curva cruza o eixo x são: 7 , 0 e - 7 , 0

Passo 2

A reta tangente tem como inclinação o valor da derivada naquele ponto. Portanto se as derivadas nesses dois pontos forem iguais, as retas serão paralelas, pois terão a mesma inclinação.

Derivando implicitamente a função:

x 2 + x y + y 2 = 7

2 x + y + x y ' + 2 y y ' = 0

( x + 2 y ) y ' = - 2 x - y

y ' = - 2 x + y x + 2 y

O coeficiente angular da reta, tangente à função, no ponto 7 , 0 , vale:

y ' = - 2 7 + 0 7 + 2 ( 0 )

y ' = - 2 7 7

y ' = m = - 2

E o coeficiente angular da reta, tangente à função, no ponto - 7 , 0 , vale:

y ' = - 2 ( - 7 ) + 0 ( - 7 ) + 2 ( 0 )

y ' = - 2 ( - 7 ) ( - 7 )

y ' = m = - 2

As retas tem o mesmo coeficiente angular, pois tem a mesma inclinação. Portanto são paralelas.

Resposta

7 , 0 e - 7 , 0

y ' = m = - 2

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