Enunciado

51-60 Dê um gráfico de polinômio e identifique as coordenadas dos cortes com os eixos, dos pontos estacionários e dos pontos de inflexão. Confira as respostas com um recurso gráfico.

53- p x = 2 x 3 - 3 x 2 - 36 x + 5

Passo 1

Galera, vamos começar derivando a função:

p ´ x = 6 x 2 - 6 x - 36

Agora, vamos derivar novamente:

p ´ ´ x = 12 x - 6

Passo 2

Igualando a primeira derivada a zero, temos:

p ´ x = 0

6 x 2 - 6 x - 36 = 0

x 2 - x - 6 = 0

x 1 = - 2   e   x 2 = 3

x = 3 2

Para x = - 2 :

p - 2 = 2 × - 2 3 - 3 × - 2 2 - 36 × - 2 + 5 = 49

Para x = 3 :

p 3 = 2 × 3 3 - 3 × 3 2 - 36 × 3 + 5 = - 76

( - 2 ,   49 ) e ( 3 , - 76 ) são nossos pontos estacionários.

O próximo passo é saber se f ´ ´ x 0 > 0 , f ´ ´ x 0 < 0 ou f ´ ´ x 0 = 0 . Isso que vai determinar qual tipo de extremos relativo nós encontramos.

Passo 3

Para x = - 2 :

p ´ ´ - 2 = 12 × - 2 + 6 = - 18

Isso quer dizer que o ponto ( - 2 ,   49 ) é o nosso máximo.

Para x = 3 :

p ´ ´ 3 = 12 × 3 + 6 = 42

Isso quer dizer que o ponto   ( 3 , - 76 ) é o nosso mínimo.

Vamos ver se temos algum ponto de inflexão... Para isso nós temos que fazer um estudo de sinais com a função p ´ ´ ( x ) . Então vamos lá!

p ´ ´ x = 12 x - 6

p ´ ´ x = 0

12 x - 6 = 0

12 x = 6

x = 1 2

Agora, vamos ver como a função se comporta antes e depois do 1 2 . Para isso vamos testar um valor de x < 1 2 e outro valor de x > 1 2 . Ok ???

Para x = 0 :

p ´ ´ 0 = - 6

Para x = 1 :

p ´ ´ 1 = 12

Como p ´ ´ ( x ) tem sinais diferentes antes e depois do 1 2 , para x = 1 2 , temos um ponto de inflexão.

Para x = 1 2

p 1 2 = 2 × 1 2 3 - 3 × 1 2 2 - 36 × 1 2 + 5 = - 27 2  

O ponto ( 1 2 ,   - 27 2 )   é   p o n t o   d e   i n f l e x ã o .

Passo 4

Por último, temos que ver os cortes com os eixos.

- Eixo x :

2 x 3 - 3 x 2 - 36 x + 5 = 0

x 1 = 5  

Agora, podemos usar Briot Ruffini para acharmos as outras raízes:

Assim,

2 x 2 + 7 x - 1 x - 5 = 0

2 x 2 + 7 x - 1 = 0

x 2 = - 7 + 57 4   e     x 2 = - 7 - 57 4

Os cortes com eixo x são nos pontos:

5 , 0   e   - 7 ± 57 4 , 0

- Eixo y :

p 0 = 5

Os cortes com eixo y são nos pontos:

( 0 , 5 )

Assim, nós temos o seguinte gráfico:

Resposta

( - 2 ,   49 ) (máximo) e ( 3 , - 76 ) (mínimo) são nossos pontos estacionários.

( 1 2 ,   - 27 2 ) é ponto de inflexão.

Cortes nos eixos: 5,0 , - 7 ± 57 4 , 0   e   ( 0,5 )

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