Enunciado

Em cada item, indique as coordenadas x dos pontos de inflexão de f. Dê razões para suas escolhas.

(a) Esta curva é o gráfico de f.

(b) Esta curva é o gráfico de f ' .

(c) Esta curva é o gráfico de f ' ' .

Passo 1

Algumas vezes na nossa vida chegamos a um ponto que sentimos que temos que mudar algo, né não? Na matemática também acontece. Assim é o ponto de inflexão, onde a concavidade se revolta e muda de direção hehe.

Analisando o gráfico de f,

O ponto de inflexão é em x=3 pois a concavidade muda de baixo para cima. E também em x=5, onde a concavidade muda de cima para baixo.

Passo 2

Para o gráfico de f ' , usamos o teste da Primeira Derivada. Precisamos encontrar os pontos máximos e mínimos. Para um valor de máximo temos x=2 e x=6 e é onde f ' ' ( x ) , muda de positivo para negativo.

Em x=4, f ' ( x ) é um mínimo, onde f ' ' ( x ) , muda de negativo para positivo.

Passo 3

Para o gráfico de f ' ' , usamos o teste da Segunda Derivada. Esse teste nos diz que f ' c = 0 e f ' ' c > 0 então f tem um mínimo local. Esse ponto é em x=1, porque   f ' ' ( x ) muda de negativo para positivo lá e, portanto, o gráfico muda de côncavo para baixo para côncavo para cima.

Para f ' c = 0 e f ' ' c < 0 então f tem um máximo local. Esse ponto é em x=7, porque f ' ' ( x ) muda de positivo para negativo lá, e assim o gráfico muda de côncavo para cima e côncavo para baixo.

Resposta

(a) x=3, pois a concavidade muda de baixo para cima. E também em x=5, onde a concavidade muda de cima para baixo.

(b) Para um valor de máximo temos x=2 e x=6 e em x=4, f ' ( x ) é um mínimo.

(c) Em x=1 e em x=7.

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