Enunciado

51-60 Dê um gráfico do polinômio e identifique as coordenadas dos cortes com os eixos, dos pontos estacionários e dos pontos de inflexão. Confira as respostas com um recurso gráfico.

56- p x = x 4 - 6 x 2 + 5

Passo 1

Galera, vamos começar derivando a função:

p ´ x = 4 x 3 - 12 x

Agora, vamos derivar novamente:

p ´ ´ x = 12 x 2 - 12

Fácil, né ?!

Passo 2

Igualando a primeira derivada a zero, temos:

p ´ x = 0

4 x 3 - 12 x = 0

x   4 x 2 - 12 = 0

x = 0

E

4 x 2 = 12

x 2 = 3

x = ± 3

Para x = 0 :

p 0 = 5

Para x = 3 :

p 3 = - 4

Para x = - 3 :

p 3 = 4

( 0,5 ) , ( 3 ,   - 4 ) e ( - 3 ,   - 4 ) são nossos pontos estacionários.

O próximo passo é saber se f ´ ´ x 0 > 0 , f ´ ´ x 0 < 0 ou f ´ ´ x 0 = 0 . Isso que vai determinar qual tipo de extremos relativo nós encontramos.

Passo 3

Para x = 0 :

p ´ ´ 0 = - 12

Como p ´ ´ x 0 < 0 , o ponto ( 0,0 ) é um máximo.

Para x = 3 :

p ´ 3 = 60

Como p ´ ´ x 0 > 0 , o ponto ( 3 , - 4 ) é um mínimo.

Para x = - 3 :

p ´ - 3 = 60

Como p ´ ´ x 0 > 0 , o ponto ( 3 , - 4 ) é um mínimo.

Vamos ver se temos algum ponto de inflexão... Para isso nós temos que fazer um estudo de sinais com a função p ´ ´ ( x ) . Então vamos lá!

p ´ ´ x = 12 x 2 - 12

p ´ ´ x = 0

12 x 2 - 12 = 0

12 x 2 = 12

x 2 = 1

x = ± 1

Agora, vamos ver como a função se comporta antes e depois do 1 , faremos o mesmo para x = - 1 . Ok?

Para isso vamos testar um valor de x < 1 e outro valor de x > 1 . Ok ???

Para x = 0 :

p ´ ´ 0 = - 12

Para x = 2 :

p ´ ´ 2 = 36

Como p ´ ´ ( x ) tem sinais diferentes antes e depois do 1 , para x = 1 , temos um ponto de inflexão.

Para x = 1 :

p 1 = 0

O ponto ( 1,0 )   é um ponto de inflexão.

Bom... Também temos quer ver como a função se comporta antes e depois do - 1 . Para isso vamos testar um valor de x < - 1 e outro valor de x > - 1 . Ok ???

Para x = - 2 :

p ´ ´ - 2 = 36

Para x = 02 :

p ´ ´ 0 = - 12

Como p ´ ´ ( x ) tem sinais diferentes antes e depois do - 1 , para x = - 1 , temos um ponto de inflexão.

Para x = - 1

p - 1 = 0  

O ponto ( - 1,0 )   é um ponto de inflexão.

Passo 4

Por último, temos que ver os cortes com os eixos.

- Eixo x :

x 4 - 6 x 2 + 5 = 0

x 1 = 1  

Agora, podemos usar Briot Ruffini para acharmos as outras raízes:

( x 3 + x 2 - 5 x - 5 ) x - 1 = 0

x 3 + x 2 - 5 x - 5 = 0

x 2 = - 1

Como temos um polinômio de grau 4, esperamos encontrar 4 raízes, dessa forma, vamos usar o Briot Ruffini de novo:

x 2 - 5 x - 1 x + 1 = 0

x 2 - 5 = 0

x = ±   5

Os cortes com eixo x são nos pontos:

- 1,0 ,   1,0 ,   5 ,   0 ,   ( - 5 , 0 )

- Eixo y :

p 0 = 5

Os cortes com eixo y são nos pontos:

( 0,5 )

Assim, nós temos o seguinte gráfico:

Resposta

0,5 ( m á x i m o ) , 3 ,   - 4 ( m í n i m o ) e - 3 ,   - 4 ( m í n i m o ) são nossos pontos estacionários.

- 1,0   e   ( 1,0 ) são pontos de inflexão.

Cortes nos eixos: - 1,0 , 1,0 ,   - 5 , 0 ,   5 ,   0 ,   ( 0,5 )

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