Enunciado

51-60 Dê um gráfico de polinômio e identifique as coordenadas dos cortes com os eixos, dos pontos estacionários e dos pontos de inflexão. Confira as respostas com um recurso gráfico.

60- p x = x x 2 - 1 3

Passo 1

Galera, vamos começar derivando a função:

p ´ x = x 2 - 1 3 + 6 x 2 x 2 - 1 2

Agora, vamos derivar novamente:

p ´ ´ x = 6 x   x 2 - 1 2 +   12 x   x 2 - 1 2 + 24 x 3 ( x 2 - 1 )

Passo 2

Igualando a primeira derivada a zero, temos:

p ´ x = 0

x 2 - 1 3 + 6 x 2 x 2 - 1 2 = 0

x 2 - 1 2 x 2 - 1 + 6 x 2 = 0

x 2 - 1 = 0

x 1 e   x 2 = ± 1

7 x 2 - 1 = 0

x 3   e   x 4 = ± 1 7

Para x = 1 :

p 1 = 0

Para x = - 1 :

p - 1 = 0

Para x = 1 7 :

p 1 7 = - 0,238

Para x = - 1 7 :

p - 1 7 = 0,238

( 1,0 ) , - 1,0 ,   ( 1 7 ,   0 , 238 ) ,   ( - 1 7 ,   0,238 ) são nossos pontos estacionários.

O próximo passo é saber se f ´ ´ x 0 > 0 , f ´ ´ x 0 < 0 ou f ´ ´ x 0 = 0 . Isso que vai determinar qual tipo de extremos relativo nós encontramos.

Passo 3

Para x = 1 :

p ´ ´ 1 = 0

Como p ´ ´ 1 = 0 , nós vamos ter que usar o teste da primeira derivada, ou seja, vamos ver como a função se comporta antes e depois de x = 1 . Sacou ???

Como p ´ ( x ) é positiva tanto para o intervalo à esquerda, ( - ∞ , 1 ) quanto à direita, ( 1 , + ∞ ) , para x = 1 , não temos nenhum extremo relativo.

Para x = - 1 :

p ´ - 1 = 0

Como p ´ ´ 1 = 0 , nós vamos ter que usar o teste da primeira derivada.

Como p ´ ( x ) é positiva tanto para o intervalo à esquerda, ( - ∞ , - 1 ) quanto à direita, ( - 1 , - 0,378 ) , para x = - 1 , não temos nenhum extremo relativo.

Para x = 1 7 :

p ´ ´ 1 7 = 3,89

Como p ´ ´ 1 7 > 0 , esse é um ponto de mínimo relativo.

Para x = - 1 7 :

p ´ ´ - 1 7 = - 3,89

Como p ´ ´ 1 7 < 0 , esse é um ponto de máximo relativo.

Vamos ver se temos algum ponto de inflexão... Para isso nós temos que fazer um estudo de sinais com a função p ´ ´ ( x ) . Então vamos lá!

p ´ ´ x = 6 x   x 2 - 1 2 +   12 x   x 2 - 1 2 + 24 x 3 ( x 2 - 1 )

p ´ ´ x = 0

x 2 - 1 ( 6 x 3 - 6 x + 12 x 3 - 12 x + 24 x 3 ) = 0

x 2 - 1 ( 42 x 3 - 18 x ) = 0

x 2 - 1 = 0

x = ± 1

42 x 3 - 18 x = 0

x   42 x 2 - 18 = 0  

x = 0

E

42 x 2 - 18 = 0

x 2 = 18 40

x = ± 3 21

Agora, temos que ver como essa função se comporta ao redor desses pontos e, a melhor forma de fazer isso é montando um quadro de sinais.

Galerissss, vocês perceberam como os sinais variam entre os intervalos ??? Isso quer dizer que todos esses são pontos de inflexão. Quando p ´ ´ ( x ) tem um comportamento à esquerda do ponto de interesse e tem outro à sua direita, quer dizer que esse é um ponto de inflexão, lembrou ???

Para x = - 1 :

p ( - 1 ) = 0

Para x = 1 :

p ( 1 ) = 0

Para x = 0,65 :

p 0,65 = - 0,125

Para x = - 0,65 :

p - 0,65 =   - 0,125

Assim,

- 1,0 ,   1,0 ,   0,65 , - 0,125 ,   ( - 0,65 ,   - 0,125 ) são nossos pontos de inflexão.

Passo 4

Por último, temos que ver os cortes com os eixos.

- Eixo x :

x x 2 - 1 3 = 0

x = 0  

x 2 - 1 = 0

x =   ± 1

Os cortes com eixo x são nos pontos:

- 1,0 ,   1,0 ,   ( 0,0 )

- Eixo y :

p 0 = 0

Os cortes com eixo y são nos pontos:

( 0,0 )

Assim, nós temos o seguinte gráfico:

Resposta

1,0 ( n e n h u m ) , - 1,0 ( n e n h u m ) ,   ( 1 7 ,   0,238 ) ( m í n i m o ) ,   ( - 1 7 ,   0,238 ) ( m á x i m o ) são nossos pontos estacionários.

- 1,0 ,   1,0 ,   0,65 , - 0,125 ,   ( - 0,65 ,   - 0,125 ) são pontos de inflexão.

Cortes nos eixos: - 1,0 , 1,0   e   ( 0,0 )

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