Enunciado

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5-18. Calcule a integral definida de duas formas: primeiro com uma substituição u na integral definida e, depois, com uma substituição u na integral indefinida.

6. ∫ 1 2 4 x - 2 3 d x

Passo 1

Então galera, antes de calcularmos a integral que nos foi dada utilizando as duas maneiras citadas pelo enunciado, vamos relembrar rapidinho qual é a diferença entre elas, ok?

Substituir u na integral definida significa calcular toda a integral em termos de u , inclusive os os intervalos de integração são alterados a partir da relação entre u e x ;

Por outro lado, substituir u na integral indefinida significa apenas utilizar essa substituição para calcular a integral e depois retornar à nossa variável original (que é x no nosso caso) e sem alterar os limites de integração!

Beleza! Tendo em vista esses conceitos, então bora que bora!

Passo 2

A integral que nos foi dada é:

∫ 1 2 4 x - 2 3 d x

Vamos utilizar a seguinte substituição:

u = 4 x - 2

Encontrando a relação entre d u e d x :

d u = 4 d x

∴ d u 4 = d x

Substituindo na nossa integral, teremos:

∫ 1 2 4 x - 2 3 d x = 1 4 ∫ 1 2 u 3 d u

Ok, espero que tenha feito sentido até aqui! Bora continuar!

Passo 3

Resolvendo da primeira maneira, isto é, substituindo u na integral definida, teremos:

u = 4 x - 2

u 1 = 4.1 - 2 = 2

u 2 = 4.2 - 2 = 6

Aqui o que fizemos foi alterar os intervalos de integração utilizando a substituição que escolhemos no passo 2! Dessa forma, teremos:

1 4 ∫ 2 6 u 3 d u = 1 4 . u 4 4 6 2

1 4 ∫ 2 6 u 3 d u = 1 4 6 4 4 - 2 4 4 = 80

Agora resolvendo da segunda maneira, isto é, voltando à nossa variável x depois de resolver a integral, teremos:

1 4 ∫ 1 2 u 3 d u = 1 4 . u 4 4 2 1

1 4 ∫ 1 2 u 3 d u = 1 4 . 4 x - 2 4 4 2 1 = 1 4 6 4 4 - 2 4 4 = 80

Note que os resultados deram idênticos, como era para acontecer. E estão aí nossos resultados, pessoal!

Resposta

∫ 1 2 4 x - 2 3 d x = 80

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