Em cada um dos problemas de 5 a 8, determine uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série da equação diferencial dada em torno de cada ponto x_0 dado.

x \* y'' + y = 0; x_0 = 1

Passo 1

Olá, tudo bem?

Vamos juntos resolver essa atividade.

O problema é:Encontre uma cota inferior para o raio de convergência da solução em série da equação:

x y ' ' + y = 0 ;       x 0 = 1

A equação é da forma:

y ' ' + 1 x y = 0

Observe que aparece 1 x , ou seja, a equação tem um coeficiente singular em x = 0 (pois 1 x não é analítico em x = 0 ).

Assim:

  • x = 0 é um ponto singular da equação
  • Para outros valores de x , como x 0 = 1 , a equação é regular (porque 1 x é analítica em torno de x = 1 )

Passo 2

O raio de convergência R da série de potências centrada em x 0 = 1 é, no mínimo, a distância até o ponto singular mais próximo, que é x = 0 .

Logo, a distância entre x 0 = 1 e o ponto singular x = 0 é:

R = 1 - 0 = 1

Portanto, uma cota inferior para o raio de convergência é:

1

Resposta

x 0 = 1

p = 1

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