Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1 - Capítulo 5.9 - Ex. 9

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5-18. Calcule a integral definida de duas formas: primeiro com uma substituição u na integral definida e, depois, com uma substituição u na integral indefinida.

9. ∫ 0 8 x 1 + x d x

Passo 1

Então galera, antes de calcularmos a integral que nos foi dada utilizando as duas maneiras citadas pelo enunciado, vamos relembrar rapidinho qual é a diferença entre elas, ok?

Substituir u na integral definida significa calcular toda a integral em termos de u , inclusive os os intervalos de integração são alterados a partir da relação entre u e x ;

Por outro lado, substituir u na integral indefinida significa apenas utilizar essa substituição para calcular a integral e depois retornar à nossa variável original (que é x no nosso caso) e sem alterar os limites de integração!

Beleza! Tendo em vista esses conceitos, então bora que bora!

Passo 2

A integral que nos foi dada é:

∫ 0 8 x 1 + x d x

Vamos utilizar a seguinte substituição:

u = 1 + x

Disso também tiramos que:

x = u - 1

Encontrando a relação entre d u e d x :

d u = d x

Substituindo na nossa integral, teremos:

∫ 0 8 x 1 + x d x = ∫ 0 8 u - 1 u 1 2 d u

∫ 0 8 x 1 + x d x = ∫ 0 8 u 3 2 - u 1 2 d u

Ok, espero que tenha feito sentido até aqui! Bora continuar!

Passo 3

Resolvendo da primeira maneira, isto é, substituindo u na integral definida, teremos:

u = 1 + x

u 0 = 1 + 0 = 1

u 8 = 1 + 8 = 9

Aqui o que fizemos foi alterar os intervalos de integração utilizando a substituição que escolhemos no passo 2! Dessa forma, teremos:

∫ 1 9 u 3 2 - u 1 2 d u = 2 5 u 5 2 - 2 3 u 3 2 9 1

∫ 1 9 u 3 2 - u 1 2 d u = 2 5 . 9 5 2 - 2 3 . 9 3 2 - 2 5 . 1 - 2 3 . 1 = 1192 15

Agora resolvendo da segunda maneira, isto é, voltando à nossa variável x depois de resolver a integral, teremos:

∫ 0 8 u 3 2 - u 1 2 d u = 2 5 u 5 2 - 2 3 u 3 2 8 0

∫ 0 8 u 3 2 - u 1 2 d u = 2 5 1 + x 5 2 - 2 3 1 + x 3 2 8 0

∫ 0 8 u 3 2 - u 1 2 d u = 2 5 . 9 5 2 - 2 3 . 9 3 2 - 2 5 . 1 - 2 3 . 1 = 1192 15

Note que os resultados deram idênticos, como era para acontecer. E estão aí nossos resultados, pessoal!

Resposta

∫ 0 8 x 1 + x d x = 1192 15

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