Enunciado

1-4. Expresse a integral em termos da variável u , mas não a calcule.

3. b) ∫ e e 2 ln ⁡ x x d x ; u = ln ⁡ x

Passo 1

Então pessoal, para esse tipo de questão o intuito é só pegar a ideia de como resolver uma integral por substituição, tanto que não devemos calcular de fato a integral, apenas deixa-la nos moldes corretos! Vale ressaltar aqui que como queremos expressar a integral em termos da variável u , então também devemos alterar os intervalos de integração, ok? Então bora lá!

Nossa integral é:

∫ e e 2 ln ⁡ x x d x

E nossa substituição é:

u = ln ⁡ x

Derivando para descobrirmos d u em função de d x :

d u = 1 x d x

Substituindo os valores encontrados na nossa integral, teremos:

∫ e e 2 ln ⁡ x x d x = ∫ e e 2 u d u

Ok, primeira parte finalizada!

Passo 2

Por fim, o que devemos fazer agora é alterar os intervalos de integração, uma vez que não estamos mais integrando em relação a x , e sim em relação a u ! Os intervalos são: x = e e x = e 2 , certo? Utilizando a substituição indicada, teremos:

u e = ln ⁡ e = 1

u e 2 = ln ⁡ e 2 = 2

Logo, nossa integral será:

∫ e e 2 ln ⁡ x x d x = ∫ 1 2 u d u

E está aí nosso lindo resultado, galera!

Resposta

∫ e e 2 ln ⁡ x x d x = ∫ 1 2 u d u

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