Enunciado

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5-18. Calcule a integral definida de duas formas: primeiro com uma substituição u na integral definida e, depois, com uma substituição u na integral indefinida.

15. ∫ - ln ⁡ 3 ln ⁡ 3 e x e x + 4 d x

Passo 1

Então galera, antes de calcularmos a integral que nos foi dada utilizando as duas maneiras citadas pelo enunciado, vamos relembrar rapidinho qual é a diferença entre elas, ok?

Substituir u na integral definida significa calcular toda a integral em termos de u , inclusive os os intervalos de integração são alterados a partir da relação entre u e x ;

Por outro lado, substituir u na integral indefinida significa apenas utilizar essa substituição para calcular a integral e depois retornar à nossa variável original (que é x no nosso caso) e sem alterar os limites de integração!

Beleza! Tendo em vista esses conceitos, então bora que bora!

Passo 2

A integral que nos foi dada é:

∫ - ln ⁡ 3 ln ⁡ 3 e x e x + 4 d x

Vamos utilizar a seguinte substituição:

u = e x + 4

Encontrando a relação entre d u e d x :

d u = e x d x

Substituindo na nossa integral, teremos:

∫ - ln ⁡ 3 ln ⁡ 3 e x e x + 4 d x = ∫ - ln ⁡ 3 ln ⁡ 3 d u u

Ok, espero que tenha feito sentido até aqui! Bora continuar!

Passo 3

Resolvendo da primeira maneira, isto é, substituindo u na integral definida, teremos:

u = e x + 4

u ln ⁡ 3 = e ln ⁡ 3 + 4 = 7

u - ln ⁡ 3 = e - ln ⁡ 3 + 4 = 13 3

Aqui o que fizemos foi alterar os intervalos de integração utilizando a substituição que escolhemos no passo 2! Dessa forma, teremos:

∫ 13 3 7 d u u = ln ⁡ u   7 1 3 3

∫ 13 3 7 d u u = ln ⁡ 7 - ln ⁡ 13 3 = ln ⁡ 27 13

Agora resolvendo da segunda maneira, isto é, voltando à nossa variável x depois de resolver a integral, teremos:

∫ - ln ⁡ 3 ln ⁡ 3 d u u = ln ⁡ u   ln ⁡ 3 - ln ⁡ 3

∫ - ln ⁡ 3 ln ⁡ 3 d u u = ln ⁡ e x + 4   ln ⁡ 3 - ln ⁡ 3

∫ - ln ⁡ 3 ln ⁡ 3 d u u = ln ⁡ 7 - ln ⁡ 13 3 = ln ⁡ 27 13

Note que os resultados deram idênticos, como era para acontecer. E estão aí nossos resultados, pessoal!

Resposta

∫ - ln ⁡ 3 ln ⁡ 3 e x e x + 4 d x = ln ⁡ 27 13

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