Enunciado

5-18. Calcule a integral definida de duas formas: primeiro com uma substituição u na integral definida e, depois, com uma substituição u na integral indefinida.

16. ∫ 0 ln ⁡ 5 e x 3 - 4 e x d x

Passo 1

Então galera, antes de calcularmos a integral que nos foi dada utilizando as duas maneiras citadas pelo enunciado, vamos relembrar rapidinho qual é a diferença entre elas, ok?

Substituir u na integral definida significa calcular toda a integral em termos de u , inclusive os os intervalos de integração são alterados a partir da relação entre u e x ;

Por outro lado, substituir u na integral indefinida significa apenas utilizar essa substituição para calcular a integral e depois retornar à nossa variável original (que é x no nosso caso) e sem alterar os limites de integração!

Beleza! Tendo em vista esses conceitos, então bora que bora!

Passo 2

A integral que nos foi dada é:

∫ 0 ln ⁡ 5 e x 3 - 4 e x d x

Vamos utilizar a seguinte substituição:

u = 3 - 4 e x

Encontrando a relação entre d u e d x :

d u = - 4 e x d x

∴ - d u 4 = e x d x

Substituindo na nossa integral, teremos:

∫ 0 ln ⁡ 5 e x 3 - 4 e x d x = - 1 4 ∫ 0 ln ⁡ 5 u d u

Ok, espero que tenha feito sentido até aqui! Bora continuar!

Passo 3

Resolvendo da primeira maneira, isto é, substituindo u na integral definida, teremos:

u = 3 - 4 e x

u 0 = 3 - 4 . e 0 = - 1

u ln ⁡ 5 = 3 - 4 . e ln ⁡ 5 = - 17

Aqui o que fizemos foi alterar os intervalos de integração utilizando a substituição que escolhemos no passo 2! Dessa forma, teremos:

- 1 4 ∫ - 1 - 17 u d u = - 1 4 u 2 2 - 1 7 - 1

- 1 4 ∫ - 1 - 17 u d u = - 1 8 - 17 2 - - 1 2 = - 36

Agora resolvendo da segunda maneira, isto é, voltando à nossa variável x depois de resolver a integral, teremos:

- 1 4 ∫ 0 ln ⁡ 5 u d u = - 1 4 u 2 2 ln ⁡ 5 0

- 1 4 ∫ 0 ln ⁡ 5 u d u = - 1 4 ( 3 - 4 e x ) 2 2 ln ⁡ 5 0

- 1 4 ∫ 0 ln ⁡ 5 u d u = - 1 8 3 - 20 2 - 3 - 4 2 = - 36

Note que os resultados deram idênticos, como era para acontecer. E estão aí nossos resultados, pessoal!

Resposta

∫ 0 ln ⁡ 5 e x 3 - 4 e x d x = - 36

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