Enunciado

Uma partícula move-se em um eixo s com uma velocidade de v t = 3 cos ⁡ 2 t   m / s . Encontre a distância percorrida pela partícula no intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ π 8 .

Passo 1

Então pessoal, de acordo com o que estudamos em cinemática, temos que:

A derivada da posição nos dá a velocidade;

A derivada da velocidade nos dá a aceleração.

Bom, se temos a velocidade, então se integrarmos essa função velocidade no intervalo que nos foi dado encontraremos a distância percorrida pela partícula. Tendo isso em vista:

D i s t â n c i a   P e r c o r r i d a :   ∫ 0 π 8 3 cos ⁡ 2 t d t

Essa é a integral que temos que resolver!

Passo 2

Vamos utilizar a substituição:

u = 2 t

Disso tiramos que:

d u = 2 d t

∴ d u 2 = d t

Substituindo na nossa integral:

3 2 ∫ 0 π 8 cos ⁡ u d u = 3 2 s e n   u π 8 0

3 2 ∫ 0 π 8 cos ⁡ u d u = 3 2 s e n   2 t π 8 0 = 3 2 s e n   2 . π 8 - s e n   0

∴ D i s t â n c i a   P e r c o r r i d a :   ∫ 0 π 8 3 cos ⁡ 2 t d t = 3 2 4   m

E essa é a nossa resposta, galera!

Resposta

D i s t â n c i a   P e r c o r r i d a = 3 2 4   m

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