O matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897) observou que a substituição t = t \* g(x / 2) converte qualquer função racional de sen x e cos x em uma função racional ordinária de t .

a) Se t = t g ( x / 2 ) , -pi <= x <= pi , esboce um triângulo retângulo ou use as identidades trigonométricas para mostrar que

cos(x / 2) = 1 / raiz(1 + t^2) e sen(x / 2) = t / raiz(1 + t^2)

Passo 1

A questão forneceu a tangente de x / 2 em função de t e devemos escrever o seno e cosseno desse ângulo em função de t . Desta forma, vamos desenhar o triângulo retângulo com ângulo x / 2 , cateto oposto t , cateto adjacente 1 e hipotenusa h :

Passo 2

Primeiro vamos calcular h pelo teorema de Pitágoras:

h 2 = 1 2 + t 2 ⇒ h = 1 + t 2

Passo 3

O seno é cateto oposto sobre hipotenusa. Assim,

s e n   x 2 = t h = t 1 + t 2

Já para o cosseno:

cos ⁡ x 2 = 1 h = 1 1 + t 2

Resposta

Demonstração.

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