Enunciado

52. Encontre lim x → 2 ⁡ cos ⁡ π x x - 2 . [ S u g e s t ã o : Seja t = π 2 - π x .]

Passo 1

Que tal nós começarmos seguindo aquela sugestão do enunciado, humm?

Fazendo t = π 2 - π x , temos que t → 0 quando x → 2 . Além disso,

-   t + π 2 = π x  

Logo,

π x = π - 2 t 2

x = 2 π π - 2 t

Passo 2

Agora, vamos substituir as informações obtidas no nosso limite.

lim x → 2 ⁡ cos ⁡ π x x - 2 = lim t → 0 ⁡ cos ⁡ -   t + π 2 2 π π - 2 t - 2

lim t → 0 ⁡ cos ⁡ -   t + π 2 4 t π - 2 t

lim ⁡ π - 2 t 4 t → 0 ⁡ cos ⁡ -   t + π 2 t

Galera, o que a gente vai fazer neste exato momento é usar aquela fórmula do cosseno da soma de dois ângulos. Assim, olha....

cos ⁡ -   t + π 2 = cos ⁡ t cos ⁡ π 2 + s e n t s e n π 2 =

= s e n t

Passo 3

Calculando o nosso limite, após a substituição,teremos:

lim ⁡ π - 2 t 4 t → 0 ⁡ s e n t t

lim ⁡ π - 2 t 4 t → 0 lim t → 0 ⁡ s e n t t = π 4

Resposta

π 4

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