Enunciado

43-46 A equação do movimento é dada por uma partícula, onde s está em metros e t , em segundos. Encontre (a) a velocidade e a aceleração como funções em t, (b) a aceleração depois de 1 segundo e (c) a aceleração no instante em que a velocidade é 0.

45. s = sen ⁡ ( π t / 6 ) + co s ⁡ ( π t / 6 ) ,     0 ≤ t ≤ 2

Passo 1

(a)

Nós sabemos da física que a derivada do espaço é a velocidade:

v = d s d t

E que a derivada da velocidade é a aceleração:

a = d v d t

Então para encontrar a velocidade só precisamos deivar a função dada:

v t = d d t sen ⁡ π t 6 + cos ⁡ π t 6

Usando a regra da cadeia para derivar o seno e o cosseno:

v t = π 6 cos ⁡ π t 6 - π 6 sen ⁡ π t 6   m / s

E para encontrar a aceleração vamos derivar mais uma vez:

a t = d d t π 6 cos ⁡ π t 6 - π 6 sen ⁡ π t 6

Usando a regra da cadeia, da mesmam forma que antes:

a t = - π 6 2 sen ⁡ π t 6 - π 6 2 cos ⁡ π t 6  

Podemos tirar o - π 6 2 em evidência:

a t = - π 6 2 sen ⁡ π t 6 + cos ⁡ π t 6   m / s 2

Prontinho!

Passo 2

(b)

Para achar a aceleração depois de um segundo, não tem segredo, é só aplicar 1 na função da aceleração:

a t = - π 6 2 sen ⁡ π 1 6 + cos ⁡ π 1 6

a 1 = - π 6 2 1 2 + 3 2   m / s 2

(c)

Para achar a aceleração quando a partícula está parada devemos, primeiro, achar qual é esse instante:

v t = π 6 cos ⁡ π t 6 - π 6 sen ⁡ π t 6

Queremos achar t e sabemos que o carro está com uma velocidade igual a 0:

0 = π 6 cos ⁡ π t 6 - π 6 sen ⁡ π t 6

π 6 cos ⁡ π t 6 = π 6 sen ⁡ π t 6

cos ⁡ π t 6 = sen ⁡ π t 6

O seno é igual ao cosseno quando o ângulo é de 45 ° ou π / 4   ,   então:

π t 6 = π 4

t = 6 4

t = 3 2   s

Então, o carro fica com uma velocidade 0 quando sua aceleração é:

a 3 2 = - π 6 2 sen ⁡ π 6 3 2 + cos ⁡ π 6 3 2

a 3 2 = - π 6 2 2 2 + 2 2

a 3 2 = - 2 ⋅ π 6 2   m / s 2

Resposta

  1. v t = π 6 cos ⁡ π t 6 - π 6 sen ⁡ π t 6   m / s
  2. a t = - π 6 2 sen ⁡ π t 6 + cos ⁡ π t 6   m / s 2

  3. a 1 = - π 6 2 1 2 + 3 2   m / s 2
  4. a 3 2 = - 2 ⋅ π 6 2   m / s 2
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